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Matemática Básica 1

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Este libro aborda varios temas de matemática básica nivel universitario tales como lógica proposicional, conjuntos, realciones y funciones, los números reales, inducción, sucesiones y polinomios.
Year:
2006
Edition:
9
Language:
spanish
Pages:
696
File:
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1

大义觉迷录.4卷

Year:
2016
File:
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2

Microsoft PowerPoint - Minimalism.ppt

Language:
english
File:
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MATEMÁTICA BÁSICA 1
Para U niversidades y C entros de enseñanza superior

La Primera Edición de esta obra filé publicada en Abril de 1982,
siendo renovada los años 1984 (2da. Edición), 1986 (3ra. Edición)
y 1996 (6ta. Edición) permaneciendo vigente en las ediciones
Sétima y Octava hasta la actualidad.

N O V E N A E D IC IÓ N
Enero 2006

© Impreso en E diciones
Jirón Loreto 1696 Breña - Telefax 423-8469
E-mail: ediciones_2@ hotm ail.com
Lima - Perú

Todos los derechos reservaciones conforme al
Decreto Ley N° 26905

“

HECHO EL DEPÓSITO LEGAL N° 15010599 - 2572
RAZÓN SOCIAL : RICARDO FIGUEROA GARCÍA
DOMICILIO : Jr. Loreto 1696 - Breña

Este libro no se puede reproducir total o parcialmente
por ningún medio electrónico, mecánico o fotocopia u
otros medios sin el previo y expreso permiso del autor.

I

PROLOGO
En la actualidad, en todas las disciplinas de estudio (carreras de cien­
cias, economía,

ingeniería, administración, médicas, etc.) es evidente la

necesidad de tener conocimientos básicos de las primeras áreas de las mate­
máticas (Algebra, Geometría, Trigonometría y Geometría Analítica).
Desafortunadamente, de la misma manera también es evidente que el inte­
rés por las matemáticas no responde a esta necesidad. Creo que en gran par­
te los responsables de este desinterés somos las personas que de una manera
u otra tenemos que ver con el proceso de enseñanza-aprendisaje. Este fué el
motivo principal para la realización de esta obra.
Actualmente, el contenido científico de un libro no es la única preocupa
ción de los autores. El aspecto didáctico con lo que se presenta el mate­
rial es tan inportante como el contenido mismo. Haciendo mía esta preocupa­
ción, el contenido de este libro está organizado de acuerdo con el sistema
de instrucción personalizada, por lo cual los conceptos y propiedades que
se presentan a lo largo de los 10 capítulos que consta la obra, (Lógica Conjuntos - Relaciones y Funciones - Los Números Reales - Relaciones y Fun­
ciones en R 2 - Funciones Exponenciales y Logarítmicas - ; Inducción Matemáti­
ca - Sucesiones - Los Números Complejos - Polinomios), están suficiéntemente motivados y reforzados con una cantidad amplia de ejemplos ilustrativos
como de ejercicios propuestos, de tal manera que en todo el libro se presen
tan más de 900 ejemplos y 1800 ejercicios a todos los niveles de dificultad.
La obra pretende buscar un equilibrio entre lo formal y lo intuitivo, de
tal forma que se prefirió, en algunos casos, ser menos riguroso de lo desea
do si se pensaba que ésto produciría un mayor beneficio pedagógico: sin em­
bargo, se trató de ser formal y preciso en la mayor medida posible.
Este libro está básicamente enfocado a cualquier persona que desee adqui
rir los fundamentos básicos de las matemáticas: así pienso que puede ser un
buen auxiliar para los estudiantes que terminaron su educación secundaria
como los del primer ciclo de las Escuelas Normales, Universidades y de cua¿
quier curso cuyo objetivo sea capacitar a los estudiantes para iniciarse en
los estudios de cursos superiores.

Sólo fines educativos LibrosVirtual

II

Prólogo

Aprovecho la oportunidad para expresar mi agradecimiento a todas la per­
sonas que tuvieron la gentileza de hacerme llegar sus valiosas observacio­
nes a las primeras ediciones» pues sus criticas constructivas hicieron posi
ble modificar el orden de algunos capítulos» agregar nuevos temas y mejorar
la exposición de otros. Asimismo deseo expresar un especial reconocimiento
a la Editorial AMERICA cuyo personal no ha escatimado esfuerzos para resol­
ver las dificultades inherentes a la publicación del texto.
Una observación final. Se ha tenido especial cuidado en reducir las erra
tas lo más posible. Cada ejercicio propuesto fué resuelto minuciosamente,
las respuestas que figuran en la parte final del libro fueron comprobadas
más de una vez. Aun cuando todo autor sueña con producir el libro excento
de errores ninguno ha logrado esa aspiración, al menos que yo sepa. Por tan
to, agradecería que me hagan notar cualquier error que pueda haber persistí,
do todavía.
Ricardo Figueroa García

*

Sólo fines educativos LibrosVirtual

III

Contenido

C O N T E N ID O
LOGICA

1.1

Introdución.

1.3

Proposiciones sim ples y com puestas

1.2 Proposición

2

1

1.4

L a C onjunción

4

1.5

L a Disyunción

5

1.5.1

L a Disyunción Inclusiva

1 .5 .2

La Disyunción Exclusiva.

1.7

L a C ondicional o Im plicación

9

1.7.1

Tabla de verdad de la Condicional o Implicación

9

1 .7 .2

El uso d e las Proposiciones Implicativas

11

1 .7 .3

Proposición R ecíproca

11

1.7 .4

Proposición Inversa.

12

1.8

L a Bicondicional

12

1.9

U so de los S ignos de A grupación

13

1.1 0

E valuación de E squ em as M oleculares por la Tabla de Valores

19

1.11

Proposiciones Equivalentes

21

1 .1 2

O tro uso d e la Implicación

24

1.1 3

L a Inferencia Lógica

27

1.13.1

El M étod o A breviado

29

1.14

Principales Leyes Lógicas o Tautologías

33

1.14.1

Equivalencias N otables

34

1 .1 4 .2

Im plicaciones N otables

43

1.1 5

L a D em ostración M a tem ática. 1.15.1 D em ostración Directa

45

1 .1 5 .2

D em ostración Indirecta

47

1.1 6

Circuitos Lógicos. 1.16.1 Circuitos en S erie

49

1 .1 6 .2

Circuitos en P aralelo

50

6
1.6 La N egación

1 .7 .5 Proposición Contrarecíproca

7

CONJUNTOS
2.1

Definición.

2 .3

D eterm inación d e un conjunto

2 .2 N otación

62

2 .4

Conjuntos Finitos e Infinitos. 2 .5 C onjuntos Num éricos

63

Sólo fines educativos LibrosVirtual

61

IV
2.6

Contenido
Conjuntos Especiales

64

L O G IC A C U A N T IF IC A C IO N A L
2.7

Función Preposicional

66

2 .8

C uantificadores Universal y Existencial

67

2.9

N egación de Proposiciones que contienen Operadores Cuantificacionales

69

2 .1 0

Funciones Lógicas que contienen más de una variable

71

2.11

Relaciones entre Conjuntos: Conjuntos Iguales. Conjuntos equivalentes

81

2 .1 2

Representación Gráfica de los Conjuntos

85

2 .1 3

Unión de Conjuntos.

89

2 .1 4

Intersección de Conjuntos.

2.1 3.1 Propiedades
2.1 4.1 Propiedades

91

2 .1 4 .2 P ropiedades Distributivas de la Unión e Intersección

93

2 .1 4 .3 Leyes de Absorción

94

2 .1 5

Diferencia de Conjuntos.

2 .1 6

Com plem ento de un Conjunto.

2.15.1 Propiedades

2 .1 7

Diferencia Simétrica.

2 .1 8

Núm ero de elem entos de un Conjunto. Propiedades

2.16.1 Propiedades

2.1 7.1 Propiedades

94
96
98
113

RELACIONES Y FUNCIONES
3.1

Introducción.

3.3

Producto C artesiano

3 .2 P ar Ordenado

126

3.3.1

Propiedades del Producto Cartesiano

127

3.3.2

D iagonal de un Conjunto

1 29

3.3.3

Representación Geom étrica del Producto Cartesiano

129

3.4

R elaciones Binarias

134

3.4.1

Dominio de una Relación.

3.4.3

Propiedades del Dominio y R ango de una Relación

136

3.5

Relación Inversa o Reciproca. Propiedades

137

3.6

Composición de Relaciones. Propiedades

138

3.7

Relaciones definidas en un conjunto

1 39

3.8

C lases de Relaciones.

3 .8 .2

Relación Simétrica.

3 .8 .4

Relación d e Equivalencia

3 .8 .5

Relación Antisimétrica

143

3 .8 .6

Relación d e Orden

1 44

3.9

F U N C IO N E S .

154

3 .9 .2

Aplicaciones de A en B

155

3 .9 .3

Función Inyectiva o Univalente

161

3 .4 .2 R ango de una Relación

3.8.1 Relación Reflexiva

3 .8 .3 Relación Transitiva

3.9.1 Dominio y R ango de una Función

Sólo fines educativos LibrosVirtual

125

135

140
141
142

Contenido

V

3 .9 .4

Función Sobreyectiva o Suryectiva

162

3 .9 .5

Función Biyectiva

163

3 .9 .6

Composición d e Funciones

16 4

3 .9 .7

Función Inversa

166

3 .1 0

O peraciones Binarías Internas

172

3.10.1

Propiedades de las Operaciones Binarías Internas

17 4

NUMEROS REALES
4.1

Introducción.

4 .3

Teorem as sobre la Adición

4 .2 Definición Axiomática de los Núm eros R eales

187

185

4 .4

Teorem as sobre la Multiplicación

189

4 .5

Aplicaciones de R en el Algebra

193

4.5.1

Operaciones de Adición, Multiplicación y Cociente

193

4 .5 .2

n Potencia d e un número real

197

4 .5 .3

Raíces y Radicales

203

4 .5 .4

Ecuaciones Cuadrádricas

213

4 .5 .5

Ecuaciones reducibles a cuadráticas

222

ORDEN EN R
4 .6

D esigualdades

22 4

4 .7

Teorem as Relativos a Desigualdades

22 4

4 .8

Inecuaciones.

4 .8 .2

Inecuaciones C uadráticas

4.8.1 Inecuaciones Lineales

23 7
239

4 .8 .3

Inecuaciones Racionales

241

4 .9

L a R ecta R eal

245

4 .1 0

Intervalos

246

4.11

O peraciones con Intervalos

248

4 .1 2

Resolución Gráfica de Inecuaciones en R

256

4 .1 3

Inecuaciones Polinómicas

258

4 .1 4

Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales

265

4 .1 4 .2

Inecuaciones con Radicales

267

4 .1 5

Valor Absoluto.

276

4.15.1 Teorem as sobre V alor absoluto

4 .1 5 .2

Ecuaciones con Valor Absoluto

286

4 .1 5 .3

Inecuaciones con Valor Absoluto

287

4 .1 6

El M áxim o Entero de un Núm ero R eal

299

4.16.1

Teorem as sobre el M áxim o Entero de un Núm ero Real

300

Sólo fines educativos LibrosVirtual

VI

Contenido

RELACIONES Y FUNCIONES EN IR2
RELACIONES DEFINIDAS DE R EN R
5.1

El Producto C artesiano d e R x R

5 .2

D istancia entre dos puntos

5 .3

G ráficas d e R elaciones d e

5.3.1

G ráficas d e R elaciones Lineales

317

5 .3 .2

G ráficas d e relaciones d e la forma: x^+y2»!2 o (x -h ^ + fy -k ^ t2

317

5 .3 .3

G ráficas d e las relaciones d e la form a: y= a x2+bx+c

320

5 .3 .4

G ráficas d e las relaciones de la form a: A xJ+C yí + D x + E y + F = 0

323

5 .3 .5

G ráficas d e las relaciones d e la form a: A x2-C y2+ D x+ E y+ F ’*0

324

5 .3 .6

G ráficas d e relaciones con valor absoluto

325

5 .3 .7

G ráficas d e relaciones definidas por inecuaciones

331

5 .3 .8

G ráficas d e relaciones inversas

341

5 .3 .9

Criterios generales para graficar una relación

351

I)

313
315

R en R

D esigualdades Lineales.

315

II) D esigualdades C uadráticas

337

FUNCIONES EN R2
5 .4

Funciones reales de varióle real

5 .5

G ráfica de una función.

5.5.1

359
P ropiedades

360

5 .6

C álculo del dominio y rango

5 .7

Funciones Especiales.

5 .7 .3

Función Lineal.

5 .7 .5

Función R aíz C uadrada

5 .7 .6

Función Polinóm ica de grado n

370

5 .7 .7

Función R acional

370

5 .7 .8

Funciones Seccionadas

371

5 .7 .9

Función Escalón Unitario

372

5 .7 .1 Función Identidad

362
5 .7 .2 Función C onstante

5 .7 .4 Función C uadrática

366
367
369

5 .7 .1 0 Función S igno

373

5.7.11

374

Función Valor Absoluto

5 .7 .1 2 Función M áxim o Entero

376

5 .7 .1 3 Funciones P ares

382

5 .7 1 4

Funciones Im pares.

5 .7 .1 5 Funciones Periódicas

•

383

5 .8

A lg e b ra d e las Funciones

397

5 .9

Com posición d e Funciones

409

5 .1 0

Funciones C recientes y D ecrecientes

42 1

5.11

Función Inyectiva o Univalente

422

5 .1 2

Función Sobreyectiva

426

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Contenido

VII

5 .1 3

42 7

Función Biyectiva

5.1 4

Función Inversa

42 8

5.14.1

P ropiedades d e la Función Inversa

42 9

5 .1 5

Im agen Directa de un Conjunto.

Propiedades

44 5

5 .1 6

Im agen Inversa de un Conjunto.

Propiedades

44 7

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
6.1

La Función Exponencial

6 .2

Logaritmos

454
45 7

6.2.1

Propiedades Fundam entales de los Logaritmos

459

6.3

La Función Logaritmo

46 8

6 .4

Ecuaciones Exponenciales

47 3

6 .5

Ecuaciones Logarítmicas

47 7

6 .6

Inecuaciones Exponenciales

483

6 .7

Inecuaciones Logarítmicas

48 7

INDUCCION MATEMATICA
7.1

Introducción.

7.3

Principio de Inducción Com pleta

7 .2 Principio del Buen O rden

499
500

7 .4

Definiciones Recursivas

50 4

7 .5

Sum atorias

509

7 .6

Propiedades de las Sum atorias

513

7 .7

Form ulas importantes de las Sum atorias

514

7 .8

Notación de producto de los términos de una sucesión

518

n
7 .9

P ropiedades de X T f(i)

519

i= l
7 .1 0

Binomio de New ton

523

7.10.1

Propiedades del Coeficiente Binomial

524

7 .1 0 .2

El Teorem a del Binomio

525

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Contenido

VIII

SUCESIONES
lü
8.1

Introducción

537

8.2

S ucesiones Aritm éticas y G eom étricas

539

8.3

S ucesiones M onótonas

545

8.4

Limite de un a Sucesión

548

8 .5

Teorem as sobre Límites

551

8.6

Series Infinitas

559

| NUMEROS COMPLEJOS
u

Introdución.

9 .2 El Sistem a d e Núm eros Complejos

565

9.3

P ropiedades d e la Adición

566

9.4

P ropiedades déla Multiplicación

5 68

9.5

R com o subconjunto de C

570

9.6

Form a cartesiana de un núm ero com plejo

571

9.7

Representación geom étrica de los números complejos

573

9.8

C onjugado de un núm ero complejo. Propiedades

574

9.9

M odulo d e un núm ero complejo. Propiedades

582

9.10

La raíz cu adrad a de un núm ero complejo

584

9.11

Lugares G eom étricos en C

589

9.12

Form a polar de un núm ero complejo

602

9.13

O peraciones en la form a polar

9 .1 3 .2

C ociente. Interpretación G eom étrica

9.1 3.1 Multiplicación. Interpretación G eom .

604

603

608

9.14

Potenciación de números complejos. El Teorem a de Moivre

9.15

R adicación de números complejos

611

9.15.1

Ecuaciones cuadráticas con coeficientes complejos

613

9.1 5.2

R aices primitivas de la unidad

614

9.16

La exponencial com pleja.

616

9 .1 6 .2

O peraciones en la form a exponencial com pleja

9.16.1 Propiedades

618

POLINOMIOS
10.1

Definición y Notaciones.

10.3

S um a y Multiplicación de polinomios

10 .2 Igualdad de polinomios

638

10.4

Algoritmo de la división

639

Sólo fines educativos LibrosVirtual

637

IX

Contenido
10.5 _

La división Sintética

64 2

10.6

Teorem a del Resto

64 5

10.7

Teorem a del Factor

646

10.8

R aíces de un Polinomio

655

10.8.1

Núm ero de raíces de una ecuación polinómica

65 5

1 0 .8.2

Multiplicidad de un factor

65 6

1 0 .8.3

N atu raleza de las raíces de un polinomio real

65 6

Teorem a 10.8. R egla de los signos de Descartes
1 0 .8 .4

65 9

R aíces racionales de un polinomio

661

Teorem a 10 .10. Teorem a del Valor Intermedio

663

10.9

Acotación de Raíces

66 6

1 0 .10

Relación entre las raíces y los coeficientes

674

R e s p u e s ta s a E jercicio s P ro p u esto s

68 2

LISTA DE SIMBOLOS
Pag.

Pag.
A

Conjunción "y'1

4

V

Disyunción Inclusiva "o"

6

A

Disyunción exclusiva

7

A

Discriminante

215

%

Negación

7

C

Conjunto de núm. complejos

64

«=>

Implicación, entonces

9

<!>

Conjunto vacío o nulo

64

o

Conjunto universal

65

Para todo

67

<=>

Bicondicional; si y sólo si 12

Z

Conjunto de núm. enteros

Q

Conjunto ce núm. racionales 64

I

Conjunto de núm. irrac.

64

R

Conjunto de núm. reales

64

63

=

Equivalente

21

i

No es equivalente

22

3

Existe

68

No implica

24

C

Es subconjunto de:

82

28

rj

Incluye a:

82

••

Por lo tanto

<

Menor que

46--186

>

Mayor que

47--186

>

No es subconjunto de:

$
P(A) Conjunto potencia de A

82
84

Menor o igual que

224

U

Unión

83

Mayor o igual que

224

n

Intersección

91
96

61

A'

Complemento del conj. A

e

} Conjunto
Pertenece, es elemento de.

62

AAB

Diferencia simétrica de los

i

No pertenece

62

N

Conjunto de núm. naturales

63

conjuntos A y B
n(A) Número de elementos de A

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98
113

Lista de Símbolos

X

aRb

a está relacionado con b 134

z

Sumatoria

509

Dom(R) Dominio de la relación R 135

n

Notación de producto

518

Ran(R) Rango de la relación R

135

n!

Factorial de n

523

R*=R' 1 Relación inversa de R

137

RoS

0L

Relación compuesta de S
por R.

f:A -*■ B

138

f es una función de
A en B.

Lim an
n-K»

154

Dcn(f) Dominio de la función f

154

Ran(f) Rango de la función f

154

gof

lani

409--164

Función Inversa de f

523

Sucesión

538

Límite de la sucesión

167

Parte real de z

572

Im(z)

Parte imaginaria de z

572

z

Conjugado complejo

<a,b>

Intervalo Abierto

247

[a,b]

Intervalo cerrado

247

exp(z)=ez Exponencial compleja

248

M

Valor Absoluto de a

276

1 1

Función Valor Absoluto

314

1*1

Máximo entero no mayor

compleja
P(x)

Plano Cartesiano

313

I

Función Identidad

366

Función Exponencial

455

Función Logaritmo

468

574
582

616

602

Polinomio de variable
638

Polinomio de variable
real

R2

eXPb

P(z)

299

que x.

571

Re(z)

Módulo del complejo z
1*1
8=Arg( z) Argumento de z

Intervalo infinito

549

iari) cuando n tiende a

i=(0/l) Unidad compleja

Función conpuesta de f
por g .

Coeficiente binomial o
número combinatorio

*

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638

ve

K D

INTRODUCCION
Lógica es el estudio de los procesos válidos del razonamiento hunano.

Existen dos tipos importantes de razonamiento: el inductivo y el deducti­
vo. El razonamiento inductivo es el medio por el cual una persona, en ba­
se de sus experiencias específicas, decide aceptar como válido un princi­
pio general. El razonamiento deductivo es, en cambio, el medio según el
cual dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para
decidir sobre la validez de una idea, que a su vez habra de determinar el
curso de su acción.
Dado que las proposiciones son preceptos válidos de razonamiento deductivo
en nuestro breve estudio, veremos lo esencial de la lógica propos icional, a
través del uso y manejo de una simbología adecuada.

C D

PROPOSICION__________________________________________H
Una preposición es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de

ser verdadera (V) o falsa <F), pero no ambas simultáneamente.
Una proposición se representa simbólicamente por letras minúsculas tales co
mo: p, q, r, etc (llamadas variables proposicionales). Osando se trata de
representar muchas proposiciones similares se usan subíndices para indicar
cada una de ellas, esto

es.

Si P(x), que se lee "P de x", es un polinomio en x, su valor numérico para
x=a se escribe P(a), y se lee "P de a". Por ejemplo, si el polinomio dado
es P(x)=xz-3x+4 y se tama a=2, se obtiene: P(a)=(2)*-3(2)+4, es decir:
P(a)=2

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fines educativos
LibrosVirtual
Análogamente, también
expresaremos
simból
icomente el hecho de que ana pro

Capítulo 1: Lógica

2

posición sea verdadera

o falsa.

Si

p es una proposición,

su valor de

verdad se denotará con V(p) y escribiremos:
V(p)=V
y se queremos expresar que es falsa escribiremos:
V(p)=F
Ejemplos:
Proposición
a) p:César Val lejo nació en París
b) q:

Valor de verdad
V(p)=F
V(q)=V

2+3 < 10-3

c) r: El número 1331 es divisible por 11
d) t: Todos los hombres no son mortales

V(r)=V
V(t)=F

Observaciones:
1. Aquellos enunciados que indican una pregunta, una orden o una exclama­
ción, son expresiones no propos idónales.
Ejemplos:

a) Qué edad tienes?
b) Viva el Perú!
c) Prohibido fumar

2. Los enunciados que usan las palabras "él", "ella" y los símbolos x,y,z,
no tienen la propiedad de ser verdadero o falso, es decir, no son propo­
siciones. Sin embargo, si a una de estas palabras y símbolos se le asig­
na un determinado objeto o valor, llamado
na proposición.

constante, el resultado es u-

A este tipo de enunciados se les denomina enunciados a-

biertos.
Ejemplos:

a)'El está jugando tenis
b) x+2 > 5
c) 2x+3y=8

Asi en a), si la variable él se reemplaza por la constante Fernando tenemos
"Fernando está jugando tenis", que es una proposición cuyo valor de verdad
V o F dependen de que si Fernando esté jugando o no.
De igual manera en b), si la variable x se reemplaza por un número mayor
que 3 el enunciado se convierte en una proposición verdadera, o si el reem­
plazo se hace

Q

|

número menor que 3, la proposición resulta falsa.

PROPOSICIONES SIM PLES Y COMPUESTAS
Las proposiciones simples, llamadas también atómicas o elementales, son

Sólo fines educativos LibrosVirtual

3

Sección 1.3: Proposiciones Sim ples y Compuestas

aquellos enunciados que tienen un solo sujeto y un solo predicado. El valor
de verdad V o F de estas proposiciones se obtienen de la disciplina o suce­
so de donde provienen.
Ejemplos:
(1) p: El ángulo recto mide 900
V(p)=V , por los conceptos de la geometría elemental.
(2) q: Carlos Marx es autor de la Iliada.
V(q)=F , pues, según la historia,

Homero es autor de la Iliada.

(3) r: "7 esun número primo"
V(r)=V , porque la aritmética asílo establece.
Las

proposiciones compuestas, llamadas también moleculares o coligativas

son aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones simples.
El valor de verdad de la proposición compuesta depende del valor de verdad
de cada una de las propos ¡dones componentes, sin que esta dependencia de
verdades tenga que ver con la naturaleza, la significación o la estructura
de las proposiciones componentes. Por esta propiedad, a las proposiciones
compuestas se les llama también funciones veritativas.
En la composición de proposiciones simples, estas están ligadas por ciertas
palabras tales como "y", "o” , "si, entonces", "si y sólo si", "no", "pero"
etc. Estas constantes propos idónale s son llamados conectivos lógicos.
Ejemplos:
1) La proposición "El terreno es muy fértil y hay suficiente lluvia", es la
compuesta de las proposiciones atómicas "El terreno es muy fértil", "Hay
suficiente lluvia".
2) La proposición: "La luna no es satélite de la tierra", es una proposi­
ción molecular que utiliza el conectivo "no". En este caso, el término
de enlace actúa solo sobre una proposición atómica: "La luna es satélite
de la tierra".
3) La proposición; "Si estamos en diciembre entonces llegará la navidad",
usa el conectivo "si

entonces" que actúa sobre las proposiciones sim

pies "Estamos en diciembre", "LLegará la navidad".
Observación. Dado que el valor de una proposición molecular depende única­
mente de los valores de verdad de las proposiciones componen­
tes, el nünero de combinaciones para el valor de verdad de aquella es 2n,
donde n es el número de enunciados que tiene la proposición compuesta.

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Capítulo 1: Lógica

4

Asi, para dos proposiciones simples p y q, las posibilidades de combinación
de V o F son 2 2=4 formas posibles. Para tres proposiciones simples p, q y r
(n=3) tenemos: 23=8 formas posibles.

O P E R A C IO N E S C O N P R O P O S IC IO N E S
Asi como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números ,
en lógica se estudian operaciones entre proposiciones. La operación aritmé­
tica de sima de dos números 3 y 5, por ejemplo, hace corresponder a un
nuevo número 8 que es su suma mediante la igualdad: 3+5=8; es decir, escri­
bir ”3+5" significa lo mismo que escribir "8". Vamos a proceder análogamen­
te para definir las operaciones entre proposiciones.

K B

LA CONJUNCION
Dadas dos proposiciones p y q, la conjunción es el resultado de compo­

ner estas proposiciones con el conectivo lógico "y”. Se denota por el símbp
lo "A", se escribe "paQ" y se lee "p y q ”.
Ejanplo.

Sean las proposiciones: p=La tiza es blanca
q=6 es un número primo

A partir de estas proposiciones simples obtenemos la nueva proposición uniéndolas mediante la conjunción "y”.
r=La tiza es blanca y 8 es un número primo
Aquí podemos observar que V(p)=V y V(q)=F, entonces V(r)=F, ya que la con­
junción ”y" exige el cunpl imiento de ambas componentes, sin excepción.
Eh consecuencia, la regla práctica para conjunciones es:

La proposición conjuntiva es verdadera únicamente cuando las dos proposicio
nes coligativas p y q son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa-

Esta característica es válida para toda conjunción y se puede resumir en la
siguiente tabla de verdad.
p

q

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

p Aq
V

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Sección ].5: la Disyunción
EJEMPLO 2.

5

Determinar el valor de verdad de la proposición:
r: "2+3+5=11 y 4+8 > 5+6"

Solución. Sean p:2+3+5=ll * V(p)=F
q:4+8 > 5+6 * V(q)=V
Luego, según la tabla de verdad de la conjunción:
V(r) = V(p
EJEMPLO 3.

a q

) = F

Determinar el válor de verdad de la proposición:

"r=7 es un número par y no es mayor que 5"
Solución.

A simple vista, la conjunción es falsa, pues si:
p = 7 es un número par +■ V(p) = F
q = 7 no es mayor que 5

■+ V(q) = F

entonces, según la tabla de verdad de la conjunción:
V(r) = V(pAq) = F
Nota.

Hay palabras como "pero", "a la vez", "sin embargo", "además", "aun­
que", "no obstante", etc, que también unen proposiciones conjuntiva­

mente y se pueden simbolizar por el conectivo "a ".
EJEMPLO 4.

Determinar el valor de verdad de la proposición:
r = "15 es múltiplo de 3, pero 5 no es mayor que 7".

Solución. Sean: p=15 es múltiplo de 3 +
q=5 no es mayor que 7

V(p) = V
■+ V(q) = V

Luego, según la tabla de verdad de la conjunción:
V(r) = V(pAq) = V

m

LA D ISYUNCIO N________________________________________ ^
Se llana disyunción o sana lógica de las proposiciones p y q, dadas en

ese orden, a la proposición que seobtiene enunciando
unidas ambas por el conectivo "o",

esto es: "p

q a continuación de p

o q".

Ejemplos:
a) La proposición: "La luna es azul o 3 es un número primo" es la diyunción
de:

p=La luna es azul -+ V(p) = F
q=3 es un número primo +■

V(q) = V

Aqui, podemos decir que la disyunción p

o q es

verdadera,

pueselusoha

tual del conectivo "o" establece una alternativa: alguna de las dos compo-

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6

Capitulo 1: Lógica

nenies se cunple. Como es cierto que 3 sea un número primo, no importa que
la luna no sea azul, ya que una de las dos componentes de la al temat iva es
verdadera. En este caso podemos escribir, entonces: V(poq)=V.
b) La proposición: Luis es ingeniero o profesor de matemáticas, es la dis­
yunción de:

r = Luis es ingeniero
s - Luis es profesor de matemáticas

c) La proposición: "César Vallejo nació en el Perú o nació en Francia", es
la disyunción de:

t="César Vallejo nació en el Perú"
u="César Vallejo nació en Francia"

En el ejemplo b) se observa que si V(r)=F y V(s)=F -► V(ros)=F. Sin embargo
cuando las componentes son ambas verdaderas, la disyunción admite dos usos
diferentes del conectivo "o", uno inclusivo y el otro exclusivo.
Asi en el ejemplo b), si V(r)=V o V(s)=V ■* V(ros)=V. En este caso hemos usa
do el "o" inclusivo, pues la verdad de que Luis sea ingeniero no excluye la
posibilidad de que sea profesor de matemáticas.
En cambio, en el ejemplo c) la verdad de que César Vallejo naciera en el Pe
rú excluye la posibilidad de que naciera en Francia y viceversa. En este ca
so hemos usado el "o" exclusivo y si V(tj-V ó V(u)=V ■+■ V(tou)=F
Estas consideraciones ilustran la necesidad de distinguir dos interpretado
nes para la disyunción "poq".

(Q )

LA D ISYUNCIO N INCLUSIVA___________________________ ^
Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción inclusiva o débil, es

una proposición col igat iva que resuita de unir las proposiciones p y q con
el conectivo "o", el cual se denota por el símbolo "V", se escribe ''pvq"
y se lee "poq". La regla práctica es:

La d i s y u n c i ó n i n c l u s i v a

de. d o s p n o p o s i c i o n t s

s i pon. L o m e n o s u n a d t ¿ a i
do i a l i a

doi pn.opoiicJ.onti

s o l a m e n t e cuando ¿ a i

Su tabla de verdad es:

p
V
V
F
F

doi io n

q
V
F
V
F

ti

v t n. da . dt a a s i

ti

vcndadena,

{¡aJUas".

pv q
V
V
V
F

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y soto

nesultan-

Sección 1.6: La Negación

7

LA DISYUNCION EXCLUSIVA____________________________§
En este caso, la palabra "o" suele usarse en su sentido excluyente,
en cuyo caso la conectiva proposicional se simboliza por "A", se llana dis
yunción exclusiva o fuerte, se escribe p A q y se lee ”p o q pero no ambos’’,
esto es, se da exactanente una de las dos alternativas.
La regla práctica es:

La disyunción. exclusiva. de. doa pioposi.cU.on.ey> es veidadeia si y sólo si
poi lo menos una de las dos pioposiciones componentes es veidadeia y no
las dos, lesultando íalsa en otios casos.

Su tabla de verdad es:

KB3

p

q

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

PA q

F

LA NEGACION__________________________________________ |
Se denomina proposición negativa de la proposición afirmativa "p" a

otra que se denota por "vp" y que se lee "no p" o "no es cierto que p" y cu
ya verdad o falsedad queda determinada por la siguiente tabla:
P
V

'Vp

F

V

F

Observamos que si p es verdadero, entonces ’vp es falso, y viceversa. Es de­
cir, el valor de la negación de un enunciado es siempre opuesto del valor
de verdad del enunciado. Lo importante de la proposición negativa es que su
valor de verdad depende del valor de verdad de la afirmación
Observación.

Nótese que la negación es una operación unitaria, en el sentí
do de que asigna a una proposición p, otra proposición'vp. En

cambio, la conjunción y la disyunción son operaciones binarias, en el sentí
do de que a cada dos proposiciones p y q, asignan una nueva proposición.
EJEMPLO 1.

a) La tisa es blanca
b) No es cierto que la tisa es blanca

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8

Capitulo 1: Lógica

c) La tisa no es blanca
d) La tisa es azul
Como se puede notar b) y c) son cada uno ¡a negación de a), en cambio d) no
es la negación de a).
Otras formas de expresar la negación es utilizando los términos "no es el
caso que", "es falso que", etc.
En estos casos generalmente la negación niega proposiciones compuestas y
simbólicamente se expresa por'vf
EJEMPLO 2.

)

Simbolizar la siguiente proposición:
"No es el caso de que 10 sea múltiplo de 3 o que 5+2 < 10".

Solución. Si p = 10 es múltiplo de 3, y q = 5+2<10 ;
entonces la proposición se simboliza:
EJEMPLO 3.
■

'v(pvq)

Sean las proposiciones: p="3 es un número par", q="5 es mayor
que 2" y r="Todo número primo es impar". Escribir y estable­

cer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:
a) 'v(pp.q)
Solución.

b) 'vqvr

c) 'v ( ^ r A p N ^ q

El valor de verdad de cada proposición simple es:
V(p)=F , V(q)=V , V(r)=F

Según estos valores de verdad, se tiene:
ó) ^ (p/\q): "No es cierto que 3 es un número par y 5
Ahora bien, V(p/>,q)=F +■ V¡ 'vfPAq)J~v

es mayor que 2".

.

b) 'vqyr: "No es cierto que 5 es mayor que 2 ó todo número primo es impar"
o bien: ”5 no es mayor que 2 ó todo número primo es impar".
V(^q)=F y V(r)=F + V(n,q v r)=F
c) ’vf'v r A p ) w q :

(Según ia tabla de

"No es cierto que no todonúmero primo

la disyunción).
es impar y 3 es un

número par, o 5 no es mayor que 2".
V('v r a p)=V(VA F)-F •» V[n. (-vrAp)]=V . Luego: V(c)=(WF)=V
Nota.

En adelante,

para considerar el valor de verdad de una disyunción se

ha de tener

en cuenta que se ha utilizado el

la palabra "o", es decir, "p o q" significará "pyq".

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sentidoincluyentede

Sección 1.7: La condicional o Implicación

( Q

9

LA CONDICIONAL O IM PLICACIO N
fiadas las proposiciones p y q, se denomina proposición condicional o im

plicativa a la que resulta de unir p y q por el conectivo "si.....entonces"
que se denota por el símbolo "

", se escribe "p -*■ q" y se lee "si p, en­

tonces q", "p implica q", "p sólo si q", "q, si p", etc, en donde p es el
antecedente o condición y q es el consecuente o conclusión.
EJEMPLO

1.

"Si

Patricia

consigue

visa

de

turista,

entonces

viajará a Miami". Simbolizar la proposición.
Si p=Patricia consigue visa de turista, y
q=Patricia viajará a Miami
La proposición se simboliza:
Nota.

p+ q

También son conectivos condicionales los términos: "porque", "puesto
que", "ya que", "si", "cuando", "cada vez que", etc. Todas se carac­

terizan porque después de cada uno de estos conectivos está el antecedente
o condición.
EJEMPLO 2.

"16 es múltiplo de 2 puesto que 16 es un número par".
Si p = 16 es múltiplo de 2 (antecedente), y
q - 16 es número par (consecuente)

Se simboliza:

q

p

que expresamos: "Si 16 es un número par, entonces es múltiplo de 2"
EJEMPLO 3.

"Arturo no viajó a Europa porque perdió sus documentos".
Si p = Arturo no viajó a Europa (antecedente) y
q = Arturo perdió sus documentos (consecuente)

Se simboliza:

q + p

que expresamos: "Si Arturo perdió sus documentos, entonces no viajó a Euro­
pa.

Q Q

TABLA DE VERDAD DE LA CONDICIONAL
Antes de dar la tabla de verdad para la implicación, consideremos

la siguiente proposición:
r = "Si Luis obtiene un promedio de 15 o más, entonces se le otorgará
beca".
Aquí se trata de la implicación de las proposiciones:
p = Luis obtiene un promedio de 15 o más (antecedente).

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10

Capítulo 1: Lógica

q = A Luis se le otorgará beca (consecuente)
Nos interesa inducir el valor de verdad de la condicional r en términos de
la V o F de las proposiciones p y q. El enunciado r puede pensarse como

una

promesa, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cimpl¡miento

de

la promesa. Veamos todas las posibilidades.
a) Si Luis obtiene 15 o más de promedio y se le otoga beca se habrá cimplido lo prometido. V(p)=V y V(q)=V

V(r)=V

b) Si Luis obtiene 15 o más de promedio y no se otorga
cumplido lo prometido. V(p)-V y V(q)=F

beca, no se habrá

V(r)=F

c) Si Luis obtiene un promedio menor que 15 y se otorga

beca, no se falta a

la promesa. V(p)=F y V(q)=V ■* V(r)-V
d) Si Luis obtiene un promedio menor que 15 y no se le otorga beca,

se

sigue cumpliendo lo prometido. V(p)=F y V(q)=F ■* V(r)=V
Entonces el valor de verdad de p-> q queda establecido de acuerdo a la si­
guiente regla:

La. condicional o implicación tendná un valon de vendad (¡alio cuando el
antecedente p e¿ vendadeno y el consecuente q es {¡also; en tos demás ca
sos diñemos que p * q es vendadeno.

En consecuencia, la tabla de verdad de la implicación es la siguiente:
q

p + q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

p

EJEMPLO 4 .

Dadas

las proposiciones p,q y r

tales queV(p)=V(q)=F

y

V(r)=V, hallar el valor de verdad de lassiguientes proposi­
ciones:

Solución,

a) p - r rv(qv r)

c) n, (pA n,q) •+ (yr a pj

b) 'vq

d) 'vfq* n,r) +

(n.pvr)

a) V(q v r)=V(Fv V)=V * V(n.(q v r))=F
b)

VC^q)=V y V K p v r)=V(Vv V)=V

p + r)
V(p + ^ q v r) J=VfF -k F)=V
Vh-q * tvpv r) }=V(V + V)=V

c) V(p*n.q )=V(FnV)=F -*■ Vfríp^q) J=V ; V(n.r a p)=V(FA F)=F
.\
d) V(q

V M p a njq) + (nrA p))=V(V * F)= F
nr)=V(F * F)=V * Vfa(q+ n,r)]=F ;

V K p +r)=V(V

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V)=V

Sección 1.7: La Condicional o Implicación

Vfv(q ■* n,r) +

J

03

11

(np ■* r)] = V(F

V) = V

e l u s o p e l a s p r o p o s ic io n e s im p lic a t iv a s

^

El uso de las proposiciones impl icat ivas en matemáticas es de sima
importancia.

Ya hemos visto que la condicional p + q significa que "q se

obtiene lógicamente de p". Los teoremas tienen esta misma forma condicional.
Recordemos que en la demostración de un teorema intervienen dos factores:
la hipótesis o dato (p), aquello que se considera verdadera, y la tesis
o conclusión (q), aquello que se quiere demostrar. Entonces el teorema es:
p -v q. Probar el teorema, es demostrar que p ■* q sea verdadera, y, dado que
la hipótesis p es verdadera; es decir, la verdad de p

q se obtiene de la

verdad de q, sabiendo que p es verdadera.
Otras formas de leer el teorema p -*■ q son las siguientes: "p sólo si q" ;
"q, si p"; "p es condición suficiente para que q"; "q es condición necesa­
ria para que p", etc.
EJE M P L O 5.

Sean las proposiciones: p="Dos ángulos tienen un lado común".
q="Dos ángulos son adyacentes". Establecer quién es condición

necesaria y/o suficiente para quién.
Solución. Consideremos las implicaciones siguientes:
r=p ->■ q: Si dos ángulos tienen un lado común, entonces son adya­
centes.
s-q -*■ p: Si dos ángulos son adyacentes, entonces , tienen un lado común.
La implicación r es falsa, pues si dos ángulos
tienen un lado común, no necesariamente son ad
yacentes. En la figura se observa que el
y el <}BOC tienen el lado común OB, sin embargo
no son adyacentes; entonces, p no es suficien­
te para q ó q no es condición necesaria para p
La implicación s es verdadera, pues en la figu
ra se observa que el

AOC y el $BOC son adyacentes y tienen el lado común

OC. Entonces, q es suficiente para p ó p es necesariamente de q.
Nota. A toda condicional se le asocian otras tres proposiciones, igualmente
importantes, que son: la recíproca, la inversa y la contra recíproca.
1.7.3

Proposición Recíproca. Dada la proposición condicional "p

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q", se

Capítulo 1: Lógica

12

llama proposición recíproca a la proposición que se denota por "q ■+ p".
Ejemplo. Sea la proposición directa p -*■ q
"Si x es par, entonces, x es múltiplo de 2"
La proposición recíproca, q ■* p, es:
"Si x es múltiplo de 2, entonces, x es par"
1.7.4 Proposición Inversa. Dada la proposición condicional "p

q", se lla­

ma proposición inversa a la proposición que se
denota por "vp + rvq".
Ejemplo. Sea la proposición directa p ■* q
"Si Patricia tiene 30 años, entonces es joven"
La proposición inversa , -vp* n,q, es:
"Si Patricia no tiene 30 años, entonces no es joven"
1.7.5 Proposición Contra recíproca. Dada la proposición condicional "p

q"

se llama proposición contra recíproca a
¡a que se denota por 'Kq -*■ /vp".
Esta proposición es de mucha utilidad en la demostración de teoremas dados
por la reducción al absurdo o falsa suposición.
Ejemplo. Sea la propos ición directa "p -> q"
"Si dos rectas son perpendiculares a una misma recta, entonces son
paralelas".
La proposición contra recíproca, "'vq-*■ n,p", es:
"Si dos rectas no son paralelas, entonces no son perpendiculares a una mis­
ma recta".

LA BICONDICIONAL
Sean p y q dos p-oposiciones con las que se forma la siguiente propo­
sición:

"p + q A q + p"

Esta nueva proposición está formada mediante dos implicaciones y una conjun
ción. Podemos escribir esta proposición haciendo uso de un nuevo conectivo;
la escribiremos como:
El símbolo

es llamado el conectivo bicondicional o doble implicación. A

la proposición formada la llamamos proposición bicondicional. Formalizando
esto último llegamos a la siguiente definición:
Dada dos proposiciones simples p y q, se denomina bicondicional a la propo­
sición definida por la conjunción de la proposición condicional con su recí

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13

Sección 1.9: Uso de los Signos de agrupación

p ro ca:
(p

* q)

a

(q

> p)

se d e n o ta “p <-» q ” y se lee “p si y s ó lo si q ”

E J E M P L O . “ F e rn a n d o c o m p ra rá un a u to m ó v il si y só lo si o b tie n e un p ré sta m o de la
c o o p e r a tiv a ”
Si p F e rn a n d o c o m p ra rá un a u to m ó v il.
q F e rn a n d o o b tie n e un p ré sta m o de la c o o p e ra tiv a .
E sta p ro p o sic ió n b ic o n d ic io n a l se e n tie n d e co m o : “ Si F e rn a n d o c o m p ra un a u to m ó v il e n ­
to n c e s o b tie n e u n p ré s ta m o de la c o o p e ra tiv a , y si o b tie n e un p ré sta m o de la c o o p e ra tiv a
c o m p ra un a u to m ó v il. Si sim b o liz a m o s e s ta p ro p o s ic ió n o b te n e m o s :
(p -> q)

a

(q

p) = p <-» q

En c o n s e c u e n c ia , la ta b la de v e rd a d de la b ic o n d ic io n a l q u e d a p e rfe c ta m e n te d e te rm in a d a
a p a rtir d e las ta b la s d e v e rd a d de la c o n d ic io n a l y la c o n ju n c ió n ; e s to es:

p

A

f j i i S liliillB

V

V

V

F

v
F

F

V

V

F

F

v

1

(p —>t|)

V

V
V
F
v

1

F
F
1

V

1

C o n c lu im o s a f irm a n d o q u e el v a lo r de v e rd a d de la p ro p o s ic ió n b ic o n d ic io n a l e s tá d ad o
p o r la s ig u ie n te re g la :

S i p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces la bicondicional p<r^q es verdadera, y
á p y q tienen valor de verdad opuestos, entonces p <roq es falsa.

Q ]

USO PE LOS SIGNOS DE AGRUPACION__________________ g
L os s ig n o s de a g ru p a c ió n ( p a ré n te s is , c o rc h e te s , lla v e s ) se usan en ló g ic a

c u a n d o se tr a t a d e o b te n e r e s q u e m a s ló g ic o s m á s c o m p le jo s co n e l fin de e v i ta r la
a m b ig ü e d a d de la s fó rm u la s . A sí, p o r e je m p lo , la e x p re sió n :
p v q

a

r

es am b ig u a ; p e ro a s o c ia d a p o r su s té rm in o s :
(p v q )
la e x p re s ió n

d a d a tie n e un

a

r ó p v (q

s e n tid o y d e ja de s e r

a

r)
a m b ig u a .

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Capítulo I : Lógica

14

Otra finalidad de los signos de agrupación es darle mayor o menor jerarquía
a los conectivos. En general,
guen

es la conectiva de menor jerqrquía, le si

, "v" que son de igual jerarquía, y luego "■*" que es el de mayor je

rarquía. Sin embargo, cada conect iva puede ser de mayor jerarquía si asi lo
indica el signo de colección.
Ejemplos:

(1) "No es el caso de que 9 es múltiplo de 3 o que 2x8=15".
Asignándole una variable a cada proposición simple se tiene
p = 9 es múltiplo de 3

; q = 2x8=15

Su notación simbólica es: "x(pvq)
Nótese que aqui la negación afecta a las variables dentro del paréntesis.
(2) "Si el testigo no dice la verdad, entonces Juan es inocente o culpable"
Si p = "El testigo dice la verdad",

q =

"Juan es inocente" y

r = "Juan es culpable"; entonces se simbol iza:
■xp - (qvr)
Aqui, el símbolo de mayor jerarquía es

Obsérvese quesolo afecta a

la variable "p" y que "v " está limitado por el paréntesis.
Observación. La combinación de las variables y los operadores o conectivos
propos ¡dónales por medio de los signos de los signos de agru­
pación se denomina esquema molecular. En cada esquema molecular solo uno de
los operadores es el de mayor jerarquía y es el que le da nombre a dicho es
quema. Por ejemplo, en los esquenas moleculares:
A = vp - (qv r) ; B = [ ( p A q ) w r j «-* p ; C = ^[(pAq) * C"pvr)J
Podemos notar que los operadores de mayor jerarquía en A, B y C son:
i

y n*,n y (os nombres que llevan cada uno de estos esquemas son: esquema

condicional, esquema bicondicional y esquema negativo, respect ivmente.

EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1.

Para los siguientes enunciados:
(1) Recoge ese lápiz

(3) x-y=5

(2) 2+5 < 6

(4) Hace mucho frío

Cuál de alternativas siguientes es la correcta?
a) Dos son proposiciones

b) Dos son enunciados abiertos

c) Dos no son ni proposiciones ni enunciados abiertos
d) Tres son proposiciones
Solución. (1) Recoge ese lápiz, es un mandato que no tiene un valor de ver-

Sólo fines educativos LibrosVirtual

15

Ejercicios Ilustrativos

d ad , e n to n c e s n o e s p ro p o s ic ió n ni e n u n c ia d o a b ie rto .
(2 ) 3+ 5 < 6 , e s u n a p ro p o s ic ió n c u y o v a lo r de v e rd a d e s F.
(3 ) x -y = 5 , e s u n e n u n c ia d o a b ie rto .
(4 ) H ace m u c h o frío , e s u n a o ra c ió n q u e no tie n e un v a lo r de v e rd a d , lu e g o , no es p ro p o s i
ció n ni e n u n c ia d o a b ie rto .
E n c o n s e c u e n c ia , (1 ) y (4 ) s a tis f a c e n la a lte r n a tiv a (c ).

E JE R C IC IO 2.

D a d a s la s p r o p o s ic io n e s : p = M a rc o s e s c o m e r c ia n te , q = M a rc o s es
un p ró s p e ro in d u s tr ia l y r = M a rc o s e s in g e n ie ro .

S im b o liz a r el e n u n c ia d o : “ Si no es e l c a s o q u e M a rc o s se a un c o m e rc ia n te y p ró s p e ro
in d u s tria l, e n to n c e s e s in g e n ie r o o no es c o m e r c ia n te ” .
S o lu c ió n .

L a p ro p o s ic ió n : “ N o e s el c a s o q u e M a rc o s se a un c o m e r c ia n te y p ro s p e ro
in d u s tr ia l” , se sim b o liz a : ~ (p

a

q)

L a p ro p o s ic ió n : “ M a rc o s e s in g e n ie ro o no e s c o m e r c ia n te ” , se sim b o liz a : (r v ~ p ). U n ie n ­
d o e s to s d o s e s q u e m a s c o n el c o n e c tiv o
~ (p

E JE R C IC IO 3.

a

se tie n e :

q ) -+ (r v - p )

D a d a s la s p r o p o s ic io n e s q: “ 4 e s
q u ie r a tal

un n ú m e ro im p a r ” , p y r c u a le s ­

q u e ~ [(r v q ) —» (r —» p )] e s v e r d a d e r a ; h a lla r e l v a lo r de

v e rd ad d e lo s s ig u ie n te s s is te m a s m o le c u la re s:
A = r + (-p v -q )
S o lu c ió n .

;

B = [r ++ (p

a

q )] ++ (q

a

-p )

; C = (r v - p )

a

(q v p)

S i q: “ 4 e s un n ú m e ro im p a r ” —» V (q )= F
~ [(r v q ) + ( r +

p )] e s V - » V [(r v q ) +

(r+ p )] = F

S eg ú n la c o n d ic io n a l: V (r v q ) = V y V (r —» p ) = F
Si V (r —» p ) = F, e n to n c e s : V (r) = V y V (p ) = F
S u s titu y e n d o e s to s v a lo re s de v e rd a d e n lo s e s q u e m a s m o le c u la re s se tie n e :
V (A ) = V -> (V v V ) = V;
V (C ) = (V v V )

E JE R C IC IO 4.

a

V (B ) = [V ++ (F

(F v F ) = (V )

a

a

F )]

++ (F

a

V ) s [F] ++ (F ) = V

(F ) = F

D e la f a lse d a d de la p ro p o s ic ió n : (p —» - q ) v (~ r —» s ) se d e d u c e q u e
el v a lo r d e v e rd a d de lo s e s q u e m a s m o le c u la re s :

A = (-p

a

- q ) v (~ q );

B = [ ( - r v q)] ++ [(~ q v r)

son re s p e c tiv a m e n te : a) V F V
S o lu c ió n .

b) F F F

a

s];

C = (p - » q ) - * [(p v q ) a ~ q]

c) V V V

d ) FF V

S e g ú n la d is y u n c ió n in c lu s iv a , si: V [(p —» ~ q ) v (~ r —» s)] = F,
e n to n c e s : V (p - » - q ) = F y V (~ r - » s) = F

A p lic a n d o la c o n d ic ió n a l en a m b o s c a s o s se tie n e :
V (p -+ - q ) = F - + V (p ) = V y V (q ) = V ; V ( - r - » s) = F -> V (r) = F y V (s) = F

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Capitulo 1: Lógica

16
Entonces: V(A)

■=(F aF) v (F) = (F) v (F) = F

V(B) = [(Vv V) a V] -*■ [(F v F) A Fj = (V) **
V C O = (V - VJ - [(V v V) a F] = (V) - [F]
Por lotanto, la
EJERCICIO S.

(F) = F
=F

alternativa correcta es la b).
En cuales de los siguientes casos es suficiente la informa­
ción para conocer el valor de verdad de las proposiciones

correspondientes.
A=(pv q) ~

<^P A^q); V(q)=V.

C=[p a (q * r)]; V(p * r)=V.
Solución.

B=(p a q) - (pvr); V(p)=V y V(r)=F.
D=(p * q) * r; V(r)=V

En A: Si V(q)=V, entonces V(A)=(pvV) +-+ C^pA F)
Pero: V(pv V)-V y

de p. Luego, V(A)=(V)

(F)-F

V("*p a F)-F, cualqiera sea el valor de verdad
.'. Es suficiente la información.

En B: Si V(p)=V y V(r)=F, entonces V(B)=(VAq)

(VvF;=(VA ql - (V).

Cualquiera sea el valor de verdad de (V * q), la condicional es verdadera,
por tanto, es suficiente la información.
En C: Según la tabla de la condicional, existen tres posibil idades para que
el V(p * r)-V, por tanto, no es suficiente la información dada para conocer
el valor de verdad de C.
En D: Si Vfr)=V, entonces (p ■* q) ■* V.
Cualquiera sea el valor de verdad de (p ■* q), la condicional es verdadera,
por tanto, es suficiente la información dada.
EJERCICIO 6.

Defínanos p#q como una operación verdadera si p es falsa y
q verdadera, y como falsa en todos los casos restantes. Se­

gún esto, si r:"Juan es médico" y s:"Juan es deportista"; hallar la traduc­
ción de C'>r)#s.
Solución.

Según la definición de i, las tablas de verdad de p#q y (^r)#s.
'Vr

s

('vr )#s

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

Vemos que la tabla de valor de verdad de <yr)$s es idéntica a la de la con­
junción, por lo tanto, la traducción de (vr)üs es:
"Juan es médico y deportista"

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17

Ejercicios: Grupo 1

1.

üe los enunciados siguientes:
(1) Hola que tal!

(4) Todos los hombres son inmortales

(2) x l+l < 10

(5) Sócrates nació en Atenas

(3) 2 + 5 > 6
Cuál de las alternativas siguientes es correcta:
a) 3 son enunciados abiertos

c) 3 no son proposiciones

b) 2 son proposiciones

d) 4 son proposiciones

2. Si p:"Carlos vendrá", q:"Carlos ha recibido la carta" y r:"Carlos está
interesado todavía en el asunto". Simbolizar los siguientes enunciados:
a) "Carlos vendrá, si ha recibido la carta, siempre que esté interesado
todavía en el asunto".
b) "O Carlos vendrá porque ha recibido la carta o no está interesado to­
davía en el asunto".
c) "Carlos vendrá si y sólo si ha recibido la carta o vendrá porque está
interesado todavía en el asunto".
3. Determinar los valores de verdad de las siguientes proposiciones:
(1) (3+5=8) v (5-3=4)

(3) (3+8=11) A (7-4 > 1)

(2) (5-3=8) - (1-7=8)

(4) (4+6=9) ~

4. v[(vpw q) v (r

q)]

a

(5-2=4)

[(vpvq) + (q Avp)], es verdadera. Hallar los valo­

res de verdad de p,q y r.
5. De la falsedad de (p = vq) v (vr + vs), se deduce que el valor de verdad
de los esquemas: A=v(vq v vs) + vp ¡ B=v(vr a s) ♦+ (vp * vq) y
C=p + v[q -► v(s + r)}, son respectivamente:
a) FFV

b) FFF

c) FVF

d) FVV

6. Se sabe que p A q y q + i son falsas. De los esquemas moleculares siguien
tes, cuáles son verdaderos: A=(vpv t)vvq ; B=v[p a (vq v vp)] ;
C=[(p * q)A v(q

a

t)] ++ [vpv(qAvt)]

1. La proposición (paql + (q + r) es falsa, y se tienen los esquemas mole­
culares: A-v(qv rj v (pv q), B=(pyvq) + p-r Aq) y
C-[(pAqi v <q a vr)] ++ (pv^r). (hales son falsos.
8. Si la proposición A=(p+n,q) * (r + a,$) es falsa, hallar el valor de ver­
dad de las proposiciones q,p,r,s.(en este orden).

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18

9.

C apitulo 1: Lógica

Dadas los proposiciones: A-(p * q)

r; V(r)=V. B=(pvq) <-» f^p a'HJ);

V(qJ=V . C=(pAq) * (pAr); V(p)=V y V(r)=F.

D=pA (q * r); V(rj=V.

En que casos la información que se da es suficiente para determinar el
valor de verdad de cada proposición.
10. (p v q) *"* (r a s) es una proposición verdadera, teniendo r y s valores
de verdad opuestos. De las afirmaciones siguientes cuáles son verdade­
ras : A=[(^p A^q) v (rA s)] A p , es verdadera
B=[v(pv q) a (r v s)J v (vpAq), es falsa
G¿[(vr a v s) -► (p v r)] a v(r a s), es verdadera.
11. Si ¡a proposición (vpAq) * (vsvr) es falsa, de lasproposiciones
guientes, cuáles son verdaderas?;
B=v(vpAq) a (vr v r) a s ;

si­

A=v((p + q) -► r];

C=[(pv vq) a p] v (vq).

12. Si las proposiciones A=(p *■» s)

■'■s y B=[(p * s)A'p]As,

sonverdade­

ras, hallar los valores de verdad de p,s y pAs, en ese orden.
13. Dada la siguiente información: V(r - q)=V; V(nAr)-F; V(mvn)=V y
V(pv m)=F. Determinar el valor de verdad del esquema molecular:
A-l (m v vn)

(p Avp) ] *-*• (m

14. Si A=(p *— r)

Aq).

v(<^pv vq)' es verdadera, hallar el valor de verdad de la

proposición B=(p ■* q) *-*■ (p •*-* r)
15. Si V[(q * p) •» (rvp)]=F; hallar el valor de verdad de cada una de las
siguientes proposiciones:
A-(pAx) - (m

y)

C=(r — ► p> ■» ÍSAqJ

B=(q ■* n)v (x a y)

D-¡( s * p) v (n ■* r)] *•» (x v^x)

16. Si V(m «-» n)=F, V[^(s •* r)]=F y Vf^pA-xj)=F; hallar el valor de verdad
del esquema A=f(pvq) "*■ (sA^r)]

(n *~*m).

17. Sabiendo que el valor de verdad de la proposición compuesta:
A={v[(pa r) * q) a [(p vq)¿s})

{(sAp;

I}, es siempre falso. Determi­

nar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) B=í((vpbq)br] + [v(q * (s » p))]ití(pLq)
b) C = W p * q)

a

[(r A p ) ■* v(rvs)]}

A

t

18. Si p,q,r,s, t,w son proposiciones cualesquiera tales que: Vf'-w*
Vf(pA^r)

v s )=f

y

(s * u)J=V; hallar el valor de verdad de los siguientes es

quemas: A=[(pAq) v r]

s; B=(s

'•wj .+ (rv^p) y

C=(t + (wv^p)]v^(p* r)
19. Dadas las proposiciones:

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Sección 1,10: Evaluación de E squem as M oleculares p o r la Tabla de Valores

19

p :L o s n ú m e ro s m y n so n m ú ltip lo s e n te r o s de 5.
q: El p ro d u c to d e lo s n ú m e ro s m y n e s un m ú ltip lo e n te r o de 5.
A n a liz a r c u á le s de la s s ig u ie n te s p r o p o s ic io n e s so n v e rd a d e ra s:

2 0.

a)

p es c o n d ic ió n s u f ic ie n te p a r a q.

c)

p es c o n d ic ió n n e c e s a r ia p a ra q.

b ) p s ó lo si q.

Si la p r o p o s ic ió n p = (~ p —» q ) v (s —» - r ) e s fa lsa ; c u á le s de lo s s ig u ie n te s e sq u e m a s
m o le c u la re s so n fa ls o s : A = [(r —» q )
C = ~ [(p v q )

1.10

a

a

q]

[(~ q v r)

a

s] ; B = ~ (p v q ) v ~q

~q] -> ~ (p -> q).

EVALUACION DE ESQUEMAS
MOLECULARES POR LA TABLA PE VALORES____________ § |
C o n s iste en o b te n e r lo s v a lo r e s d e l o p e r a d o r p r in c ip a l a p a r tir de la v a lid e z de ca d a

u n a d e las v a ria b le s p r e p o s ic io n a le s . H e m o s v is to q u e p a ra e v a lu a r u n a ta b la de v e rd a d de
d o s v a ria b le s p r o p o s ic io n a le s se n e c e s ita n 2 2= 4 v a lo re s de v e rd a d ( fila s ) p a ra c a d a v a r ia ­
b le . E n g e n e ra l, el n ú m e ro de v a lo re s de v e rd a d q u e a s ig n a a c a d a v a ria b le r e s u lta de
a p lic a r la fó rm u la 2”, d o n d e n e s e l n ú m e ro de v a r ia b le s q u e h ay en el e s q u e m a m o le c u la r.
L as c o m b in a c io n e s d e to d a s la s p o s ib ilid a d e s de V y F se h a c e n en la s c o lu m n a s de r e fe ­
r e n c ia al m arg en iz q u ie rd o d el e s q u e m a , lu e g o se p ro c e d e a a p lic a r la re g la a c a d a u n o de
lo s o p e ra d o re s , e m p e z a n d o p o r e l de m e n o r a lc a n c e , h a s ta lle g a r al de m a y o r je r a rq u ía .

E J E M P L O X.

E v a lu a r la ta b la de v e rd a d d e l e s q u e m a m o le c u la r:
A = - ( p A q ) H [ ( - p ) v {—q)]

S o lu c ió n .

N ú m e ro d e v a lo re s d e v e rd a d p a ra c a d a v a r ia b le : 2 2= 4
Iffll i f

p

(p A q l

<->

t-p)

V

H )

V

V

F

V

V

F

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

V

V

F

V

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

V

2

l

6

3

5

4

Pasos

.

t___________________________f
E x p lic a c ió n d e lo s p a s o s:
(1 ) S e a p lic ó la c o n ju n c ió n a lo s v a lo re s d e v e rd a d d e p y q.
(2 ) Se a p lic ó la n e g a c ió n a la c o lu m n a (1 )

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Capítulo 1: Lógica

20

(3) Se aplicó la negación a los valores de verdad de p.
(4) Se aplicó la negación a los valores de verdad de q.
(5) Se aplicó la disyunción inclusiva a los valores de verdad de las colum­
nas 3 y 4.
(6) Finalmente se aplicó la bicondicional a los valores de verdad de las co
lumnas 2 y 5.
En este ejemplo, el operador de mayor alcance es el bicondicional"-**", cuya
colunna (todos V) se ha trazado con doble raya para facilitar la lectura
nal del resultado de la tabla de valores.
En los ejemplos que siguen, se obviará la explicación de tos pasos.
EJEMPLO 2.

Evaluar la tabla de verdad de la proposición: A=^[p * (pvq)]

Solución. Número de valores de verdad para cada variable: 2 ‘=4

p

q

'V

P

+

v q )]

V

V

F

V

V

V

V

F

F

V

V

V

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

F

4

1

3

2

Pasos

EJEMPLO 3.

(p

Evaluar la tabla de verdad de la proposición:
l(^pA'q) * vr] ** (vp)vlr A (^p*"-q)j

Solución.

P

Número de valores de verdad para cada variable: 23=8

q

r

[ ('■op A 'vq )*■

■vr]

■*—► (^p )

V

ir

A

('Vp A

V

V

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

F

F

F
F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

F

F

F

V

V

F

F

F

F

F

F

F

V

V

F

V

F

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

V .

V

V

V

F

F

F

F

F

V

V

F

F

F

V

V

V

F

V

F

F

F

V

V

V

V

V

V

F

V

V

1

3

2

9

tt

8

5

7

6

Pasos

Sólo fines educativos LibrosVirtual

)]

Sección 1.11: Proposiciones Equivalentes
Observación.

21

Según el resultado que se obtenga en el operador de mayor je­
rarquía,

los esquemas moleculares se clasifican en continen­

tes (consistentes), tautológicos y contradictorios.
Un esquema molecular es contingente cuando en su resultado hay por lo menos
una verdad y una falsedad (Ejemplo 3). Un esquema molecular es tautológico
cuando los valores de verdad de su operador principal son todos verdaderos
(Ejemplo 1). Un esquema molecular es contradictorio cuando en el resultado
todos los valores de verdad son falsos (Ejemplo 2).
EJEMPLO 4.

Si se sabe que: p#q = [v(p/,q) * p]; evaluar el esquema:
A = l(p * q)#(qr. ^p)] -- (q#p)

Solución.

En primer lugar, construimos las tablas de verdad de p#q y q#p

P

q

n, (p

V
V
F
F

V
F
V
F

F
V
V
V

V
F
F
F

2

1

P

p

q

'V

V
V
F
F

V
V
F
F

V
V
F
F

V
F
V
F

4

3

q

A

(q

A

P) +

q

F
V
V
V

V
F
F
F

V
F
V
F

V
F
V
F

2

1

4

3

Obsérvese que la tabla de verdad de p#q es idéntica a la de p, y la tabla
de verdad de q#p es idéntica a la de q.
Ahora evaluamos el esquema A:

P

q

V
V
F
F

V
F
V
F

Pasos

[(p

q

#

.

(q a ^ p )] -*-*■

(q #p )

V
F
V
V

V
F
V
V

F
F
V
F

V
V
V
F

V
F
V
F

1

3

2

5

4

Por lo tanto, el esquema A es contingente.

1.11

PROPOSICIONES EQUIVALENTES

_| |

Dos proposiciones compuestas P y Q se dicen que son equivalentes si
unidas por el bicondicional
que P

y Q

escribe:

el resultado esuna tautología, es decir,

tienen los mismos valores de verdad
P = Q

ó

P-*-*- Q

y se lee: "P es equivalente a Q" 6 "Q es equivalente a P".

Sólo fines educativos LibrosVirtual

ensu operador princi

Capítulo 1: Lógica

22

Si P no es equivlente a Q, se escribe:
P ÍQ
EJEMPLO 1 .

ó

P 4* Q

Determinar si las proposiciones siguientes son equivalentes:
P:"Si Juan aprobó los exámenes de admisión, ingresó a la uni­

versidad".

Q:"No es el caso que Juan apruebe los exámenes de admisión y no

ingrese a la universidad".
Solución.

Sean las proposiciones simples, p:"Juan aprobó los exámenes"
q:"Juan ingresó a la Universidad".

Entonces:

P = p * q

y

Q = *(pa 1'*})

Uniendo bicondicionalmente estos dos esquemas se tiene:
(p * q) ** "-(p a vj;
y para probar que esta bicondicional es verdadera construimos su tabla de

V
F
V
F

Pasos

-4-4-

+ q)

<

V
V
F
F

(p

V
F
V
V

V
V
V
V

V
F
V
V

F
V
F
F

1

k

3

2

cr

q

CL

p

Dado que el resultado de la tabla es una tautología, las proposiciones P y
Q son equivalentes.
EJEMPLO 2.

Determinar si los esquemas A=(p * q) v (r*p) y B=vq * (*-r~*p)
son equivalentes.

Solución.

Construimos las tablas de verdad de A y B unidas por el operador
lt+-*II
P

q

r

V
V
V
V
F
F
F
F

V
V
F
F
V
V
F
F

V
F
V
F
V
F
V
F

Pasos

(p

q)

p )

(r

>vq

+

('vr -*• 'vp)

V
V
F
F
V
V
V
V

V
V
V
F
V
V
V
V

V
F
V
F
F
F
F
F

V
V
V
V
V
V
V
V

F
F
V
V
F
F
V
V

V
V
V
F
V
V
V
V

V
F
V
F
V
V
V
V

1

3

2

7

4

6

5

Vemos que las columnas 3 y 6, que corresponden a los operadores principales
de A y B, respectivamente, son iguales; entonces, el resultado de unir es­
tas dos columnas por el operador ' W " es tautológico, por lo que, A y B son

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Sección 1.11: Posiciones Equivalentes

23

equivalentes.
EJEMPLO 3.

De las siguientes proposiciones, cuáles son equivalentes?
A="Es necesario que Juan no estudie en la Universidad de Lima

para que Luis viva en Monterrico". B="No es cierto que Luis viva en Monterrico y que Juan estudie en la Universidad de Lima". C="Luis no vive en Mon
térrico y Juan no estudia en la Universidad de Lima".
Solución.

Sean: p="Juan estudia en ia Universidad de Lima"
q-"Luis vive en Monterrico"

Entonces:

A=q

vp ; B=v(qAp) ;

C=vqA"‘P

A
p

q

V
V
F
F

V
F
V
F

Pasos

q

B
'vp

F
V
V
V

V
V
V
V

1

Aqui observamos que las colimaos I

"V

(q A p )

F
V
V
V

V
F
F
F

3

2

lo

es:

B £ C

EJEMPLO

-4—►

*vq A 'vp

V
F
F
V

F
F
F
V
A

y 3 de los operadores principales de las

proposiciones A y B son iguales, por
A =B , A t C y

C

tanto, éstas son equivalentes,esto

4. Dada la proposición en Z (números enteros) p="Si x es primo y
x no es mayor que 2, entonces x no es múltiplo de 2". Luego:

A-"Si x es múltiplo de 2, entonces

x no es primo y no es mayor que 2".

B="Si x es múltiplo de 2, entonces

x no es primo o es mayor que 2".

C-"x no es múltiplo de 2 o x no es primo o x es mayor que 2".
Cuáles de estas proposiciones son equivalentes a p?
Solución.

Sean las proposiciones: r="x es primo", s="x es mayor que 2" y
t="x es múltiplo de 2". Simbolizando se tiene:

p=(r*.AS) ■» Vt ; A=t * ('W A ^s) ; B=t ■* f v v

; C= v t v V v S

Para evitar el laborioso trabajo de elaborar las tablas de verdad de cada
proposición, construyamos sólo la de p, y supongamos que: V(r)-V, V(s)=V>
V(1 )=V (Primera fila) y obtenemos en ia tabla: V(p)=V, entonces:
A=V - (FA F)=F, luego: A i p

; B=V * (FvF)=V, luego: B = p; C=FvFvF=V,

luego: C = p.
Ahora supongamos que: V(r)=V, V(s)=F y V(t)~V (tercera fila), con estos va­
lores obtenemos en la tabla: V(p)=F

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Capitulo 1: Lógica

24
D ad o q u e A y a q u e d ó d e s c a r ta d o , p ro b a m o s co n
B y C , e s to es:
B = V —» ( F v V ) = F ; lu e g o B = p
C = F v F v F = F ; lu e g o C = p
Se p u ed e s e g u ir p ro b a n d o q u e p a r a o tro s v a lo re s
de v erd ad de r, s y t, la s p r o p o s ic io n e s B y C son
v e rd a d e ra s al ig u a l q u e p , en c o n s e c u e n c ia , p o ­
d em o s a firm a r q u e é s ta s so n e q u iv a le n te s a p.

r

s

t

P

V

V

V

V

V

V

F

V

V

F

V

F
V

V

F

F

F

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

V

F

F

F

V

OTRO USO DE LA IM PLICACIO N
Se d ic e q u e u n a p ro p o s ic ió n A im p lic a a o tra p ro p o s ic ió n B , c u a n d o u n id a s p o r el
c o n d ic io n a l
re s u lta u n a ta u to lo g ía . Se s im b o liz a :
A -> B
y se lee: “ A im p lic a a B ” , o ta m b ié n , “ A e s c o n d ic ió n s u f ic ie n te p a ra q u e B ” o “ B es
c o n d ic ió n n e c e s a r ia p a ra A ” .
Si A n o im p lic a a B , se e s c rib e : A -/> B
E J E M P L O 1.

S o lu c ió n .

S ean lo s e s q u e m a s m o le c u la re s : A = (~ p ) A (~ r) y B = ~ (p
D e m o s tra r q u e A im p lic a a B.

a

q ) v ~r.

E n e fe c to , c o n s tru y a m o s la ta b la de v e rd a d de A —> B:

(~P) A(-r)

'> ~

(P

a

q) V

-r

p

q

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

V

F

V

V

F

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

V

F

V

F

F

V

V

V

F

V

V

F

V

V

V

V

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

F

V

V

Pasos

1

6

4

3

5

2

C om o el re s u lta d o a rro ja u n a ta u to lo g ía , q u e d a d e m o s tra d o q u e: A

B

E J E M P L O 2.

D a d o s lo s e s q u e m a s m o le c u la re s : A = p a ~ q, B = q - » - r
y C = - p A (q a r); d e te rm in a r si C e s u n a c o n d ic ió n n e c e s a r ia p a r a la
c o n ju n c ió n de A y B.
S o lu c ió n .

Si C e s u n a c o n d ic ió n n e c e s a ria p a ra A

a

B , e n to n c e s se d e b e p ro -

Sólo fines educativos LibrosVirtual

Ejercicios: Grupo 2

25

bar que (A a B) ■* C

p

q

r

(p A ^ q )

V
V
V
V
F
F
F
F

V
V
F
F
V
V
F
F

V
F
V
F
V
F
V
F

F
F
V
V
F
F
F
F

F
F
V
V
F
F
F
V

1

3

Pasos

A

-■>-

%p

A

F
V
V
V
F
V
V
V

V
V
F
F
V
V
V
V

F
F
F
F
V
V
V

V
F
F
F
F
V
V
V

V
F
F
F
V
F
F
F

2

7

6

5

(q -* <\,r )

(qAr)

t
Como el resultado (7) no es una tautología, entonce

C no es una condición

necesaria para A y B, esto es: (A a B) + C

EJERCICIOS: Grupo 2
En los ejercicios del 1 al 12 establecer, por medio de una tabla de valo­
res, si cada uno de los siguientes esquemas moleculares es contingente, tau
tológico o contradictorio.
1.

V [ ^ P ' + v(-vq A V p ) ] v V ( v p v v q )

5 .

[ ( p A v q ) a (vp

r ) ] -*■ ( p v ^ q )

2. [(pv'^q)^pl A v(-^q » p)

e. [pv(q * "*r)j a [(*p v r)

3. *(p ♦ q) *•* ''■(''■q

7 . [(^pr,q) * vr] <-* [r a v(p v ^ ) ]

vp)

4. [p * (q * r)] ** [(p a ’vr) *•vq]
9.

ípAfwj - P)].a ^[(P

8.

vq]

M (p a q) v [p a (yp v q)]} ** (p + “vq)

“VJ) + (qv^p)J

10. [vpA(q v*r)] <-► [(vpAq) v ^fp vr)]
11. [(p A vq) a ^(r a q) ] «-► v[(p a vq) * (qAr)]
12. {[(^pAr) ■* q] *->■ ["vq.** (pvr)]} A {(p *-* q) A (qv'V))
13. Afirmamos que:
A:

"Hoy es lunes pero no martes, entonces hoy no es feriado" *-* "Hoy es
feriado, entonces no es verdad que hoy es lunes y no esmartes".

B: "Hoy es lunes o martes, si y sólo si, hoy no es lunes" ■*-*■ "Hoy no es
lunes y hoy es martes".
C: "Hoy es -feriado y no es martes, entonces hoy es martes"
es martes, entonces hoy es feriado".
Cuáles son verdaderas?
14. (1) Es necesario y suficiente que p y q sean falsos para que:

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"Hoy no

26

Capítulo 1: Lógica

-* (qv'Vj sea falsa.
(2) Es necesario que q sea falsa y r verdadera para que:
(pA'vq)

(^rv^p) sea falsa.

(3) No es necesario que p y q sean verdaderas para que:
“*(p A q) v ('■p Avq) sea verdadera.
Cuáles de estas afirmaciones son verdaderas?
15. Dados los esquemas lógicos: P=(p ■* q) a -v(vp A q); R=v(vp +— q);
Q=v(pv %q). Cuál de las siguientes relaciones es correcta:
a)

P s R

b) R = Q

c) P = R

d) Ninguna

16. Si se sabe que: p*qz(p * ’Hj) y ptq=^pa vj, evaluar el esquema molecular
A=(p * r)#(q*r)
17.

Sidefinimos el conectivo

como: pAq =

(pr, *q) v í(p a r)A vqj tdonde

r

es una proposición cualquiera. Analizar cuates de las siguientesafirma
dones son correctas.
aj pSp es una contradicción

c) qA£ = q A M

b)

d> pi1^j = p AÍ^pvq)

pAq = qAp

18. Dada la siguiente información:p*q s C^p

* qj Af'q «-* p>

p#q £ C'-p

*-*•' q) v C^q * p)

Evaluar la fórmula: í(p*q)

a

(q v r)] ■* (vptfq) .

19. Dados los siguientes esquemas moleculares: A=p¿('<<i), B=p

y

C=rv(q a *r). Determinar: a) Si la conjunción de A y C implica a B
b; Si ía disyunción de A y B impl ica a C.
20. Determinar si cada una de las proposiciones que aparecen a continuación
implica a K='fpAq)v'r.
A=p

*(q o r >

;

B=(qA vr)

C=(’vp)t:(^r)

;

21. Sean tas siguientes proposiciones: M=(p
L=q ♦ vr. Analizar: a) M implica a L

y

+ vq) a ( r

■» p ) ;

S=[v(vpv q )) a q

b j M implica a S

22. Dada la siguiente tabla:
Evaluar lar fórmulas:
a) (p * q) e (q#r)
b) (qA r) # ( r A q )

c) (m «• n) * (niq)

p

q

p*q

p#q

p0q

V
V
F
F

V
F
V
F

F
V
V
V

F
F
F
V

F
V
V
F

d) M e » q) # (q*n)

*

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Sección 1.13: La Inferencia Lógica

1.13

27

LA IN FERENCIA LOGICA_____________________________ '

U

En matemáticas llamamos razonamiento a un par ordenado (ip¿),q), en
donde, 1p^> es un conjunto finito de proposiciones, llamadas premisas y q u
na proposición, llamada conclusión.
Un razonamiento es deductivo si y sólo si las premisas son evidencias de la
verdad de la conclusión, es decir, si pi, p2, ....,p son verdaderas enton­
ces q es verdadera; cuando se deduce esto se dice que se ha construido una
inferencia. De este modo, toda regla de inferencia es tautológico.
Una inferencia es válida si y sólo si la premisa p o conjunción del conjun­
to de premisas Ip^l implica la conclusión q, esto es, si:
(PiaPiaPíA

APn ) — q

es una tautología

'

(a)

Determinar si p v Q as una consecuencia válida de:

EJEMPLO 1.

A>p -» vq , vq * r , vr.
Solución.

Aqui las premisas son: p¡=vp ■* vq, p2=vq

r, p3=^r, y la conclu

ción: Q=pv q.
Debemos demostrar que: (piA P¡ a Pj)

Q, es una tautología. En efecto, la

tabla de verdad para esta inferencia es:

p

q

r

V
V
V
V
F
F
F
F

V
V
F
F

V
F
V
F

V

V

V
F
F

F
V
F

(■vp-»- %q )

A

('vq -*■ r

A

(A<r)

V
V
V
V
F
F
V
V

V
V
V
F
F
F
V
F

V
V
V
F
V
V
V
F

F
V
F
F
F
F
F
F

F
V
F
V
F
V
F
V

V
V
V
V
V
V
V
V

V
V
V
V
V
V
F
F

1

3

2

5

h

7

6

Pasos

—

(p v q )

t________________ í
Como el resultado (7) es una tautología,

la conjunción de premisas implica

a la conclusión,

por tanto, la inferenciaes válida.

Observaciones:

(1) En los casos en quelas premisas forman dos o más con
junciones, se toma laúltima conjunción como la

princi­

pal del antecedente.
(2) La validez de una inferencia no depende de los valores de verdad ni del
contenido de los enunciados que aparecen en la inferencia, sino de la
forma particular de la inferencia.

Sólo fines educativos LibrosVirtual

Capítulo 1: Lógica

28

(3) Si la condicional (a) no es una tautología, entonces se dice que la in­
ferencia es no válida o es una falacia.
EJEMPLO 2.

Determinar la validez de la inferencia: "Si el triángulo es ¿
sósceles entonces tiene dos lados iguales. Pero, el triángulo

no tiene dos lados iguales; por lo tanto, no es isósceles".
Solución.

Sean: p="El triángulo es isósceles"
q="£( triángulo tiene dos lados iguales"

Entonces, el esquema de la inferencia es:
P - Q
vq
'up

(p

+ q)

(%q )

p

q

V
V
F
F

V
F
V
F

V
F
V
V

F
F
F
V

F
V
F
V

V
V
V
V

F
F
V
V

Pasos

1

3

2

5

4

A

Como el resultado de la tabla de verdad es una tautología, la inferencia es
válida.
EJEMPLO 2.

Mediante una tabla de verdad, establecer si es válida ¡a ¡n/£
renda:

p

vq

qvr

f\,p
Solución.
r

V
V
V
V
F
F
F
F

V
V
F
F
V
V
F
F

V
F
V
F
V
F
V
F

Pasos

(p

-M -

A,q )

(s -r )

-►

A

>

q

<

P

F
F
V
V
V
V
F
F

F
F
V
F
V
V
F
F

V
V
V
F
V
V
V
F

F
F
F
F
F
V
F
F

F
V
F
V
F
V
F
V

V
V
V
V
V
F
V
V

F
F
V
V
F
F
V
V

1

3

2

5

4

7

s

(^ q ).

t_________________ i
El resultado de la tabla no es una tautología, por lo tanto, la inferencia
es una falacia.

Sólo fines educativos LibrosVirtual

Sección 1.13: La Inferencia Lógica

29

EL METODO ABREVIADO_______________________________y
Es un procedimiento que evita la laboriosa tarea de construir la
tabla de valores para determinar la validez de las inferencias. Este método
consiste en suponer la conjunción de premisas verdadera y la conclusión fal
sa, única posibilidad que invalida la implicación:
(Pl A Pl a p SA
V

V

a

V

) — •q
V

F

Si no se demuestra esta posibilidad la inferencia será válida.
En la prueba de éste método se aplica los siguientes pasos:
a) Asignar el valor de verdad V a cada una de las premisas y de falsedad F
a la conclusión.
b) Deducir la validez de cada una de las variables propos idónales en fun­
ción de las reglas veritativas, empezando por la conclusión o por el ope
rador de una de las premisas que ofrece una soia posibilidad.
c) Si cada una de las variables cumple una sola función veritativa, se ha­
brá probado que la conjunción de premisas es verdadera y la conclusión esfalsa; por lo que, la inferencia no será válida (No hay implicación).
d) Si una variable tiene dos valores de verdad y falsedad a la vez, quedará
demostrado que no es posible que la conjunción de premisas sea verdadera
y la conclusión falsa. Por lo que, hay impl icación y la inferencia será
válida.
EJEMPLO 4.

Establecer si es válida la inferencia:
p

aq

qvr
vr
:. vq
Solución.

Empezónos escribiendo el esquema de la inferencia en la forma:

b) Einpezamos por la conclusión: Si V(vq)=F * V(q)=V.

Trasladamos este va­

lor a la primera premisa y notamos que si: V(p *-■ F)-V * V(p)=F (única
posibilidad). En la tercera premisa: V(^r)=V * V(r)=F.

Estos dos valo­

res encontrados satisfacen el valor de verdad de la segunda premisa.
c) Como cada una de las variables conpie una sola función veri tat iva, deci­
dimos que la inferencia no es válida. Esto es, se ha demostrado que la

Sólo fines educativos LibrosVirtual

30

Capitulo 1: Lógica

con función de premisas es verdadera y la conclusión falsa. (Ver el ejemplo
3, donde la sexta fila de valores invalida la implicación).
EJEMPLO 5.

Establecer si es válida la inferencia:

p - q
A

r ~ q
p * r
Solución, a) (p ■* q) A f~p A **r) a (r --*■ q) * (p -> rj
V

V

V

b) £n la conclusión, si: V(p

F

r)=F, entonces, V(p)=V y V(r,)=F

Trasladamos estos valores en la primera y tercera premisas:
V(V * q) * V(q)=V (única posibilidad)
V(F

q) + V(q)=F (única posibilidad)

d) Como la variable q tiene los valores de verdad y falsedad a la vez,
concluimos afirmando /jue la inferencia es válida.
EJEMPLO

6. Comprobar la validez del enunciado siguiente: "Si estudio, en
tonces no perderé matemáticas y si no juego fútbol, entonces

estudiaré; pero perdí matemáticas. Por tanto, jugué fútbol".
Solución.

Sean: p="esludio", q="pierdo matemáticas" y r="juego fútbol".
Entonces, el enunciado dado es como sigue:

a) (p

•» "v q > a ( v r

V

-» p > a

q

V

V

+

r
F

b) Si V(r)=F y V(q)=V, entonces en la primera y tercera premisas se tiene:
V(p * F)=V, entonces V(p)=F , y V(V * p)=V, entonces V(p)=V
d) Como la variable p tiene los valores F y V a la vez, se deduce que la in
ferencia es válida.
EJEMPLO

7. Simbolizar y analizar el valor de verdad del siguiente enun­
ciado: "Si un satélite gira alrededor de la luna, entonces g¿

ra también alrededor de

la tierra; y si gira alrededor de

la tierra,

también gira alrededor del sol. Y, si gira alrededor del sol, entonces gira
alrededor de la constelación de la lira. En consecuencia, si un satélite gj_
ra alrededor de la luna, entonces gira alrededor de la constelación de la
lira".
Solución.

Sean: p="Un satélite gira alrededor de la luna"

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Sección 1.13: La Inferencia Lógica

31

q =

"Un satélite gira alrededor de

r =

"Un satélite gira alrededor delsol"

s =

"Un satélite gira alrededor de

Entonces el esquema de la inferencia es:

p

la tierra"

la constelación de la li-*-

q

ra"

q + r
r * s
p -*■ s
y la conjunción de premisas es:
a) (p * q)

a

(r * q) a (r * s) + (p ■
* s)

V

V

V

F

b) En la conclusión: si V(p * s)=F ■*• V(p)=V y V(s)-F (única posibilidad)
En la tercera premisa: V(r * F)=V * V(r)=F (única posibilidad)
En la primera premisa: V(V * qj=V + V(q)=V (única posibilidad)
En la segunda premisa, para los valores de verdad de r y q hallados, se
cumple que: V(r ■* q)=V
c) Como cada una de las variables cumple una sola función veritativa, deci­
mos que la inferencia no es válida, o que el enunciado es falso, ya que
se enripie lo que habíamos supuesto: la conjunción de premisas verdadera
y la conclusión falsa.
EJEMPLO 8.

Estudiar si es válida la siguiente proposición compuesta"
"Si Raúl participa en el comité electoral de la Universidad

entonces los estudiantes se enojarán con él, y si no participa en un comité
electoral de la Universidad entonces las autoridades universitarias se eno­
jarán con él. Pero Raúl participará en un comité electoral de la Universi­
dad. Por lo tanto, los estudiantes o las autoridades universitarias se eno­
jarán con él".
Solución.

Sean: p="Raúl participa en el comité electoral de la Universidad
q="Los estudiantes se enojarán con él"
r="Las autoridades universitarias se enojarán con él"

El esquema de inferencia es:

p * q
'vp •*- r
Pv"V
qvr

y la conjunción de premisas:
a)

(p * q) a (r * vp)

a

(p v vp) + (q v r)

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Capítulo 1: Lógica

32

b)

En la conclusión: si V(qv r)=F + V(q)=F y V(r)=F (única posivilidad)
En la primera premisa: V(p -*■ F)=V

V(p)=V (única posibilidad)

En la segunda premisa: V(F* 'vp)=V ■+ V(vp)=V -*• V(p)=F
d)

Como la variable p tiene los valores de V y F a la vez, concluimos afir­
mando que la proposición compuesta es válida.

EJERCICIOS: Grupo 3
Demostrar, por la tabla de valores o por el método abreviado, si los esque­
mas representan o no reglas de inferencia válidas.
1.

p - C*q)

5.

p +— q

p v C*q)

rv q

^

'v .r

8.

q * p
q + (rv s)
^s)

v

.\ r + (s
2.

q * p

6.

.'. p *-+ q

p * q

9.

q * r

.

r * s
3.

p)

p - q
pv^q
r

vp

s *— p

(p - q) a (r * s)

.'. p v (q

vr)

pv r
'. q v S

7.

q

(v¡

r)

10. p +-*■ vq

rv s
4.

p - q

*p

^

'V'p a s
r

r * s

.

_2______

/

.. q v r

v

.'. p * (r*vq)

Traducir a forma simbólica y comprobar ¡a v

idez de los siguientes enuncia

dos:
11. Si trabajo, no puedo estudiar. Estudio o paso matemáticas, pero trabajé
Por tanto, pasé matemáticas.
12. Si el ómnibus sufrió desperfectos en el camino entonces Patricia llega­
rá

tarde

a

la

Universidad.

Pero,

Patricia

no

llegará

tarde a la

Universidad. Por tanto, si el ómnibus sufrió desperfectos en el camino
entonces Patricia viajó en taxi.
13. Si 6 es par, entonces 2 no divide a 7. 5 no es primo ó 2 divide a 7.
Por tanto, 6 es impar.
14. En el cumpleaños de mi esposa le llevaré flores. Es el cunpleaños de mi

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Sección 1.14: Principales Leyes Lógicas y Tautologías

33

esposa o trabajo hasta tarde; pero hoy no le llevé flores a mi esposa.
Por tanto, hoy trabajé hasta tarde.
15. Si trabajo no puedo estudiar, trabajo o apruebo matemáticas, pero apro­
bé matemáticas. Por tanto, estudié.
16. Si Londres no está en Dinamarca, entonces Parts no está en Francia. Por
tanto, Londres está en Dinamarca.
17. Si me gustan las matemáticas, entonces estudiaré. Estudio o pierdo el
curso, en consecuencia, si pierdo el curso, entonces no me gustan las
matemáticas.
18. Luis es director de una empresa si tiene el mayor número de acciones; y
si tiene el mayor número de acciones, o es un economista o tiene mucho
dinero.. Ocurre que Luis tiene el mayor niñero de acciones. En consecuen
cia, o es un economista o tiene mucho dinero.
19. Estudiar si es válida o no la siguiente proposición compuesta: "Si en
la luna no hay oxígeno, entonces no hay agua ni aire. Si no hay oxígeno
ni hay agua, entonces no hay plantas. No es el caso que en la luna haya
oxígeno o no haya plantas. En consecuencia, la luna está hecha de queso"
20. "Si Anito decia la verdad, entonces Sócrates corrompía la juventud, y
si el tribunal lo condenó equivocadamente, entonces Anito no es el cul­
pable. Pero, Sócrates no corrompía la juventud o Anito es el culpable.
Por tanto, Anito no decía la verdad o el tribunal no condenó a Sócrates
equivocadanenteV

PRINCIPALES LEYES LOGICAS Y TAUTOLOGIAS
Una forma proposicional es una ley lógica si y sólo si cualquiera
que sea la interpretación formalmente correcta que se haga de la misma, se
obtiene como resultado una verdad lógica. En lógica, las tautologías son
conocidas con el nombre de leyes o principios lógicos y son las siguientes:
T.l:

Ley de Identidad (Reflexividad)
Una proposición sólo es idéntica a si misma. Se expresa por:

p— p y p —■p
T.2:

Ley de no Contradicción
Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez.

Sólo fines educativos LibrosVirtual

34

Capitulo I: Lógica

Se expresa por:
(PA'P)
T.3:

Ley del Tercio Excluido
Una proposición o es verdadera o es falsa, no hay una tercera posibi­
lidad. Se expresa por:
Pv'P
Existen muchas otras tautologías igualmente importantes y que se cla­

sifican en dos grupos:

las tautologías llamadas equivalencias notables y

las llamadas ¡aplicaciones notables.

EQUIVALENCIAS NOTABLES
E.l:

Ley de Involución (Doble negación)
Dos negaciones de igual alcance equivale a una afirmación.
V (v p )

E .2:

= p

La Idempotencia
Una cadena de conjunciones o disyunciones de variable redundante se £
I¡minan.

E.3:

a)

pA p = p

b)

p vp = p

Leyes Conmutativas
Si en las proposiciones conjuntivas, disyuntivas y bicondicionales se
permutan sus respectivas componentes, sus equivalentes significan lo
mismo.
a)

p a q= q a p

b)

p v <J= q v p

c)
E.4:

pq = q « p

Leyes Asociativas
Las leyes asociativas para la conjunción, disyunción y bicondicional

establecen que si en un esquema hay más de una conjunción, disyunción y bi­
condicional, respectivamente, con iguaI alcance, ellas pueden agruparse indist intímente.

a)

(p*q)Kr =pAÍqAr)

b)

( p v q ) v r = p v ( q v r)

c)

(p *— q) +->■ r z p

(q

Sólo fines educativos LibrosVirtual

r)

Sección 1.14: Principales Leyes Lógicas y Tautologías

£ .5

Leyes Distributivas
a)

E.6:

35

pr-(qvr) = ( p * q ) v ( p n r )

b)

p v í q A r) s (pvq) * (pvr)

c)

p

> (q a r) 3 (p * q ) A ( p -*■ r)

d)

p

- (qvr)

3 (p * q) v(p + r)

Leyes de Morgan
La negación de las proposiciones conjuntivas o disyuntivas se obtie­

nencambiando

la conjunción por

conjunción, y negando

Ejemplos: a) "No es

a)

v(P A q)

b)

H p v q) 2 (y>*"q)

E.8:

E.9:

la disyunción por la

=

C^pv-Vj)

o no está lloviendo"

"No es verdad que las rosas son rojas o las violetas son azules" equiva
le a: ”Las rosas

E.7:

o

verdad que hace frío y está lloviendo" equivale a:

"No hace frío
b)

la disyunción,

cada uno de los componentes.

no son rojas y las violetas no son azules"

Las leyes del Condicional
a)

p * q

3 -vpv q

b)

*(p -

q) 3 p A •*}

Leyes del Bicondicional
a)

(p *- q)

3 (p * q) a (q ♦ p)

b)

(p

s (pr.q) v (vp*. *q)

q)

Leyes de la Absorción
a)

p A(pvq) s p

b)

p

c)

pv(poq) = p

d)

p v (vpAq) = p v q

a

(vpv q) 3 p a

(¡

Las leyes a) y b) constituyen la absorción del esquema conjuntivo ai
disyuntivo. Uno de los miembros del esquema conjuntivo es el esquema absorvente (puede ser una variable o una cadena de disyunciones), y el otro miem
bro es el esquema que se absorve (puede ser una disyunción o una cadena de
disyunciones).
Las leyes c) y d) constituyen la absorción del esquema disyuntivo al conjun
tivo. A diferencia de a) y b) el esquema absorvente es una variable o cade­

Sólo fines educativos LibrosVirtual

Capítulo 1: Lógica

36

na de disyunciones y el esquema que se absorbe es una conjunción o cadena
de conjunciones.
Nótese que en a) y c) se absorve toda la disyunción y conjunción, respecti­
vamente, mientras que en b) y d) se absorve sólo la variable que se repite
negativamente.
Ejemplos. (1) Simplificar: (vr a p)

a fs v

r) a ( M

v

p) a (t v vs)

Aplicando b) a los dos primeros términos del esquema se tiene
(vr A

p A

s) A (v t v p) A (tV vs )

En los primeros términos se repite p, luego, según a):
(vr a

p

a

s) a

En el segundo término,

vs)

( t v

la variable s se repite negat ivamente, luego, según

b); el esquema equivale a:
(2) Simplificar:

s v

''taPASaí

(r a ^s)

Aplicando d) a los dos
(s v r)

(p a

v

r a

t)

primeros términos del
v

(p a

r

a

esquemase tiene:

t)

La variable r se repite en la cadena de conjunciones del segundo término,
luego, aplicando c) el esquema equivale a:
E.10:

svr

Leyes de Transposición
a)

(p * q) = (vq ■* vp)

b)

(p «-* q) h (vq

vp)

Los miembros de un condicional y bicondicional pueden ser transpues­
tos si se niegan cada uno de ellos.
E.ll:

Leyes de Exportación
a) (pA q) * r = p - (q * r)
b)

E.12:

K P

í a

P

ia

...

aPn ) -

r]

= j(p

,ap,a---- A p n _i) -

Formas normales para la Conjunción y Disyunción
F.N. Conjuntiva
a)

TaT

F.N. Disyuntiva

T

a)

CvC = C

b)

TaP = p

b)

CvP i P

c)

CAP =

c

c)

TvP a T

(T=Tautologia,
E.13:

(Pn * r ) j

s

C=Contradicción, P=Esquema molecular cualquiera)

Elementos Neutros para la Contradicción y Tautología
a)

pA C = C

b) C*T=T

c)

pv

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T=T

Ejercicios Ilustrativos

EJERCICIO 1.

37

Dada la proposición: "Si 3+4=7 entonces 8 es primo, o 4 no
es par"

a) Negar oracionalmente la proposición
b) Determinar el -valor de verdad de la proposición original.
Solución.

Sean: p="3+4=7", q="8 es primo”, r="4 es par"
La proposición en símbolos es: (p + q)v vr

a)

Su negación es: '"[(p + qJv^rJ = H p -*■ qjA^far)

(Morgan: E.8b)

= (pAvq)A r

(E.7b y E.l)

Oralmente: "Si 3+4=7, 8 no es primo y 4 es par"
b)

En la proposición original: V(p)=V, V(q)=F, V(r)=V
Entonces: V[(p + q) v vr] = V[(V + F)vF] = V(F vf)

EJERCICIO 2.

Hallar

otra

forma

=F

equivalente de la

proposición:

"Es

necesario entrenar debidamente y no cometer infracciones
para cumplir buen papel deportivo"
Solución.

Sean: p="entrenar debidamente", q="cometer infracciones" y
r="cumplir buen papel".

Aqui, el antecedente es (pA^q) y el consecuente r, entonces la proposición
en símbolos es: r + (p A^q) = V v í p A ’yj)

(Cond. E.7a)

Por tanto, la otra forma de enunciar la proposición dada es:
"No cumplir buen papel deportivo, o entrenar debidamente y no cometer in­
fracciones".
EJERCICIO 3.

Hallar una proposición equivalente a:
P = [(^Pa q) - (r Avr)] a (vq)

Solución.

P = [v(vp^q) v (r A^r)] A(vq)
= [(p A -vq )

V

(C)J A (vq)

(Cond. E.7a)
(Morgan: E.Sa y T.2)

= [(p Avq)] v (vq)
P = vq
. S E J E R C I C I O 4.
Solución.

(E.12: FNDb)
(Abs. E.9a)

Simplificar el esquema: A=(vpA q) + (q + p)

A = \Cvp A q) V (q + p)

(Cond. E.7a)

E (pv'vq) v tvq v p)

(E.Sa y E.7a)

E

v (pv%q)

E (pv-vq)

Sólo fines educativos LibrosVirtual

(Conm. E.3b)
(Idemp. E.2b)

Capítulo 1: Lógica

38

y^EJERCICIO 5.

Si definimos "tt" como: (p#q) =(pv

v( p A q ) ,

q )A

hallar una ex

presión equivalente a p#q.
p#q = ( p

Solución.

q)

v

(-qp

a

= í(p v q )A

v

vq)

(Morgan: E.6a)

v p ] v [ ( p v q ) A -yq]<

(Dist. E.5a)
(Abs. E.9b)

3 I v p * q ] v [v q * p ]
= [v(q

* p ) ] v (v(p + q )]

= a [ (q * p)
= v(p

EJERCICIO 6.

A

(p

-

(Cond. E. 7b)

q)]

(Morgan: E.6a)
(Bicond. E.8a)

** q )

Si A=p «- V), B=[(p A Aq)

r] a [(p

C=v\,[vs * ('vsvr)] * f^p

•<l))

A vq)

vr] y

Establecer si A,B y C son equivalentes.
Solución.

Simpl if¡cando los esquemas B y C se tiene:
B = (p

a

h V p

A

s A(p

a

s

C = f^s
=

A vq)

s v(p

+ ( r a ^r)

(Morgan: E.6a)
(Contrad. T.2)

v fe;
Aqj

.*í

p

(as v r>J a AfAp «-» i<¡;

[v(^s)

v (A g y r ) j A

A (A p

Aq;

fsv (A sv r> jA fp

Aqj

h

[(s

vq)

=

[ T V r ] A ( p «-» A q ; = T a ( p + - v q )

v ~ s ; v r j a (p * -

Aq

EJERCICIO 7.

Par a una p r o p o s i c i ó n c u a l q u i e r a p s e d e f i n e

r i si p es verdadera
s i p es falso

. . . .

V ( P> = { o

A partir de las tablas de verdad, mostrar que:
V(vp) - l-V(p)

y

b) V(pvq) = V(p)+V(q)-V(p).V(q)

A continuación y sólo utilizando a) y b) probar que:
c) Vfpa q) = V(p).V(q)
Finalmente, deducir una fórmula aritmética para:
d) V/Afp -► q)] en función de V(vp) y V(q).
Solución, a) Si V(p)=V ■* V('vp)=F
Según la definición: V(p)=l y V(n,p)=0
Como: 0 = 1 - 1

(Cond. E.7b)
(Cond. E.7a)
(Invol. E.l)
(Asoc. E.4b)
(T.3 y E.13c)
(E.12: FNCb)

Por lo tanto: A = B = C

a)

(E.12: fNDb)
(Def. de Bicond)

Aq

s

= P

(Dist. E.5c)

■y¡.)v(rA aj-)

* Vfvp) = l-V(p)

Sólo fines educativos LibrosVirtual

Sección 1.14: Principales Leyes Lógicas y Tautológicas

39

Ahora, para V(p)=F * V(vp)=V; o sea: V(p)=0 y V(vp)=l
y si: 1 = 1-0

-

V(-y-p) = l-V(p)

b) Si V(p)=V y V(q)=V

»

V(pv q)=V

Según la definición: V(p)=l , v(q)=l y v(pvq)=l
Pero: 1 = Ul-(1)(1)

->

V(p v q) = V(p)+V(q)-V(p).V(q)

Para V(p)=V y V(q)=F

*

V(pvq)=V

Según la definición: V(p)=l , V(q)=0 y V(p vq)=l
Como: 1 = l+0-(l).(l)

-

V(pvq) = V(p)+V(q)-V(p).V(q)

Igualmente se demuestra b) para: V(p)=F y V(q)=V

;

V(p)=F y V(q)=F

c) Podemos escribir: V(p*q) = V[^(vpv ^q)]
Según a):

(Morg. E.6a)

V(p*q) = l-V(vpv^q)

y según b):

= l-[V(vp)+V(^q)-V(^p).V(^q)]
= 1 - ll-V(p)-H-V(q)-[l-V(p)][l-V(q)]}

de donde:

V(p/\q) = V(p).V(q)

d) V[^(p * q)] = V(p*vq)

(Cond. E.7b)

= V(p).V(q)

(Según c))

= (l-V(^p)Jll-V(q)]

(Según a))

de donde: V[^(p ■* q)] = 1-V(vp)-V(q)+V(vp).V(q)
EJERCICIO 8.

Transformar la siguiente proposición compuesta:
P - (^p *-* q) A (p * q) a su equivalente condicional mas
simple.

Solución.

Sabemos que: v(p

q) s

p

•»

q

A

»

ip

q

•

p 4 g

Luego, en P:
Aq) A (p - q) = (p A q) A (vp vq)

P = (p

(Cond. E,7a)

= p A [q A («*p v q)]

(Asoc. E.4b)
(Def. Disy. Ex.)

= p A{[q v

P'-p

q)]

A

v[q

a

(vp v q ) 7 }

s p AH q

(*p v q)l

A

ÍV J

V

v(^p

a

fv)

v

(pA^q)Jt

(Asoc. E. 4b y Morg.E.6b)

^P] A [vq]) = p A (vp A vq)

(ldemp.E.2b y Abs.E.9b)

v

= p A {[(q v q)
=

p

= [p

A{[q
V

v

( a ,p

v

v vp]

]

a

[v(p

A

A

f'V .p A

= [p

v

vq]

a

[vp

v ^(vp

= (p

v vq)

A

[vp

v

v

a

K^p

=

(p

= (p v

v i)

vqj a

T

=

v

v

p)

v

(p

v

v

(Morg. E.6a)

q)]}

-*q)) ]

(Disy. Exc.)

vq)]

(Abs.E.9d y Morg.E.6a)

A

q)]

q] 3(p

v

vjJ

(Morg. E.6a)
a

[T

v

qj

p

P s q * p

Sólo fines educativos LibrosVirtual

(Asoc.E.4b y T.3)
(Neutro: E.13c)

Capítulo 1: Lógica

40
EJERCICIO 9.

Se define el conectivo + por la tabla:

a) Expresar ptq en términos de * y v
b) Comprobar mediante una tabla de verdad que
la expresión hallada en a) es equivalente a
p •— vq.
Solución.

Obsérvese que los valores de verdad de p + q
es la negación de los valores de verdad de p v Q
(Morg. E.6b)

Esto es: p + q = v(p v q) = ' p A ^
Se sabe que: p
Entonces:

A

q

(p v q)

=

M p

q j

a

p & q = v[v(p v q)] a v(p A q)
- "*(p + q)

.'.

A

A

v(vp

+

vq)

p 6 q = (p + q) + (vp + vq)

b)
p

q

P

V
V
F
F

V
F
V
F

V
V
F
F

A-q

P

q

(p + q )

F
V
F
V

V
V
F
F

V
F
V
F

F
F
F
V

F
V
V
F

+ (A,p + A/q)
F
V
V
F

V
F
F
F

Como los valores de verdad en el operador principal de ambas tablas son ip «-► A-q = (p + q) + (vp + vq)

dénticas, se deduce que:

EJERCICIO 10. Si T es una tautología y p,q

son proposiciones. cuáles de

las siguientes afirmaciones son verdaderas?
a) l [ ( p A T) v Cq

V T jJ

A

b) i[(p v q J v (vp A
c)

l[(p v q

S o lu c ió n ,

v

( p v q j l *-► p

a

vq)] a

(p

v

q)l

T

*T) A VT; v l(vp r. T) v T] 1 *-► T

a) ;

1/fp

S lie^T

= lp

T ) v fA-T’; ; A (p vq)}

a

V

p )J

a

(p v

(p v q ) 1 = p

a

(q

a

^T=C=vT)

(Abs. E.9d)

q ;n

(E.12:FNDa y Abs. E.9a)

La afirmación es verdadera,
b)= l í f p v q j v
M í

H

-v-ip
a

v

q ;;

a

(p v

q )(

(p v q l l M p v qJ

(Morg. E.6b)
(T.3 y E. 12: FNCb)

La afirmación es falsa.
O

= { /M\/ v [T] }
=

(Abs.E.9a y E.9c)

T

(Tere. Exc.T.3)

La afirmación es verdadera

Sólo fines educativos LibrosVirtual

Ejercicios: Grupo 4

1.

Sean:

41

p="Juan

estudia

inglés",

q="Pedro

está

en

casa".

Simplificar y expresar oralmente la proposición: P=^[^(pa "q) ■* pjvq
2.

Determinar el equivalente a la afirmación: "x no es divisor de 3 es con
dición necesaria para que x sea primo y no sea mayor que 4".

3.

Determinar los esquemas más simples equivalentes a las proposiciones:
a) "'["■(pAq) * vq]v p

c) [(p a q) v (p a ''q)] v (vp A"q)

b 7 ¡(p + q)v Ap; a Cvq
e)

[ (vq * vp)

f)
g)

-

(vp

M í (vp A vq ) v (p A (vp v q ) ) ]

la

a

proposición

7.

( q v p)

las a firm a cio n es s ig u ie n t e s

c)

v [(p A q ) v r]

= (p

9.

«-► v [ ( p v q ) * q ]

son verdaderas?

r).

b) v(p

q ) == f f t p , )

<-•» q j

= [v(pv r)v v(qv r)]

la p ro p o s ic ió n :

Usando e q u i v a l e n c i a s
(v ( v p + vq)

y

í í p v q M

{ ( ( " ‘P * v q ) v p v q ) * [ ( p * q ) v (vp A vq ) v p ] }

8.

eseq u iv a len te a

son equivalen tes?

q) f D-v(p + q) «

[ ( " ■ p v q ) A (vq v r ) ]

(vr)¡

, B =[p A ( v q ) ] a[ v ( q a r ) ]

B = [ (v p * v q ) v (mj) ]

,

a)

S im plifica r

a [q

(vq)]

a

C=v(p -+ vq) « - (p
Cuáles de

+ q)

las s ig u ie n t e s p ro p o s ic io n e s

A=v(q * vp)

6.

P=v ( p

A = [ p a ( p v " - r ) ] A ( %q )

( v q ) ] v [ (p a vr )

Cuáles de

-► v ( P v q ) }

["‘( p v " q ) ] )

las p ro p o s ic io n e s :
O fp

(p A vr) v [vq -* v(pA r )]

vq)] A v (p A q )

v{v[^(vp A q J v ^ J

4. D e m o s t r a r q u e

5.

d)

p>

-M -

lógicas

v(p v

q)]

v

a

(vq )

sim plificar:
/p

+

('•'« p

S im p lif ic a r aplicando eq uiva len cia s
{fp A q A fp v q l 7v / r

a

a

q

A

r 7

lógicas

]

la p ro p o s ic ió n :

p v .rv q l a pj} a {["-pvq v v j v " - ( p v q ) l

—

[rA p a (vrvq)]}
10. Dado el conectivo lógico * definido por la
siguiente tabla:

P

q

p *q

Analizar la verdad o falsedad de las siguien

V
V
F
F

V
F
V
F

V
F
V
F

tes proposiciones:
a) q=V es condición necesaria o suficiente
para que (p*q) = V

Sólo fines educativos LibrosVirtual

Capitulo 1: Lógica

42

b) vp * l(p /\ q) * (r

s)¡ 5 r

a

c) Es falso que (p ■* q)

a

s

h F sea condición necesaria y suficiente para

p *q h F
11. Si p A t f A r = F , d e m u e s t r e que la proposición más simplificada de:
P

=

f(vp

v

q)

a

C'q v r)J * (r

a

^p) es la proposición p y

q

v r.

1 2 . Hallar la expresión más simple equivalente a la proposición:
* ( * p ■* ''■qjf ¿ iCp A ''-ql V "v/(p a '^q) v fq * p ) l i

[ (*(pv q))

13. Se define la proposición lógica compuesta p*q
por medio de la siguiente tabla:
H a l l a r la proposición lógica más simple equiva­

lente a la siguiente proposición:

l(vp)*q]

v

U V p

q)] *

*

M

[v(p * q)] * [ (vp) * q ] \ ] \ v ^ p

14. Simplificar la proposición compuesta:
W

p

q>

v

15. E n u n c ia r una

[(p

a

*q )

v *[(r * s) v <q * p ) ¡ ]) o

proposición t, lo

[q

a

(p

■*q)J

más sencilla posible,

queseaequivalen­

te a R + S, siendo:
8

=

p

S

l ( p l

S = (^p -* q)

q )

v

( ( r

a

vp)

a

v ff-vq - Cp a r ; j

(q

a

vp)j

v

(p

a a < j) }

a fp - q ) l

16. Aplicando equivalencias lógicas, simplificar lo más posible las siguien
tes proposiciones:
P = (¡p + (q a,*r)J

a

[p a (q ■* r j ]} v {[p A q A (pv q> 1 v fr a (A-rv ql A p7>

Q = t f í í ^ A p l v (^p/\q)) v (p * r)} v ^fp «— qll 4 fq

A

a s )

♦ q)J

1 7 . S i x e y son ia s p r o p o s ic io n e s más s im p l if ic a d a s d e lo s esquemas molecu

lares:

P = Ip a [ (q a ^r> v fr y H¡) JJ
q

A

¡ (q a vp) y (vq v r)]

= f'v.f^p •* v¡; ** ■'■('p v q)) v [p ■* (q a r a ^p)]

respectivamente, hallar x y 'y1 8 . C u á le s de

la s s ig u ie n t e s proposiciones son verdaderas?

a)

v[v(p a

c)

M(p

a

q) - (vj)J s (P q) v [p

a

q) b) v[(vp)

í-xp v qJ7> 5 (p * ’^q)

*

Sólo fines educativos LibrosVirtual

qj e fp -- q)

Sección 1.14: Principales Leyes Lógicas y Tautológicas

1.14.2
1.1

43

IM PLICACIO NES NOTABLES

Ley del Uodus Ponens
Su representación simbólica es: [(p ■* q)

y su esquema clásico:

p] ♦ q

a

P * Q
P

••• q
Si se afirma el antecedente de una premisa condicional se concluye en la afirmación del consecuente.
Ejemplo: "Si en verano hace calor, entonces en invierno hace frío"
"En verano hace calor"
Luego:
1.2

"En invierno hace frío"

Ley del Uodus Tollens
Su representación simból ica es: [fp

y su esquema clásico:

q) A

- *

vp

p ■* q

•••
Si se niega el consecuente de una premisa condicional, se concluye en ia ne
gación del antecedente.
Ejemplo:

"Si Ricardo Palma nació en Lima, entonces es limeño"
"Ricardo Palma no es limeño"
Luego:

1.3

"Ricardo Palma no nació en Lima"

Ley del Silogismo Disymtivo
Su representación simbólica es:
l(p v q) * vp] + q

y su esquema clásico:

p v q

o

l(P v q) A vj] * p

o

p v q

vp

v¡
q

p

Si se niega uno de los miembros de una premisa disyuntiva, se concluye en
la afirmación del otro miembro.
Ejemplo:

"Juan es abogado o es ingeniero"
"Juan es abogado"______________
Luego: "Juan es ingeniero"

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44

Capitulo I: L ógica

1.4

Ley de

la Inferencia Equivalente

Su representación simbólica es: [(p
y su esquema clásico:

q) A p] * q

p *-► q
_P____
•••

q

Si uno de los miembros de la premisa bicondicional es verdadera, entonces
es verdadera el otro miembro.
Ejemplo:

"Si x es múltiplo de 2, si y sólo si x es par"
"x es múltiplo de 2"
Luego:

1.5

"x es par"

Ley del Silogismo Hipotético
Su representación simbólica es:

y su esquema clásico:

l(p * q)

a

(q * r>] + (p * r)

p ■* q
q * r
.-. p * r

Si p * q es verdadero y q ♦ r es verdadero, entonces p ■» r es verdadero.
Esta ley indica que el condicional es transitivo.
Ejemplo:

"Si x es un número real tal que x 1+x-6=0,

entonces (x+3)(x-2)=0"

"Si (x+3)(x-2)=0, entonces: x=3 ó x=2"
Luego:
1.6

"Si x es un número real tal que x*+x-6=0,
Ley de

entonces x=-3 o x=2"

la Trans i t ividad Simétrica

Su representación simbólica es: l(p *-» q) A (q — >■ r,)] ■* (p <-» r)
y su esquema clásico:

p «-► q
q <-» r
p ** r

Si (p *■* q) es verdadera y (q ■*+ r) es verdadera, entonces (p ** r) es ver­
dadera. Esta ley indica la transitividad del bicondicional.
Ejemplo:

"El viento sopla si y sólo si llueve"
"Llueve si y sólo si el cielo está nublado"

Luego: "El viento sopla si y sólo si el cielo está nublado"

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Sección 1.15: La Demostración Matemática
1.7

45

Simplificación
Se simboliza por:

(p

y su esquema clásico es:

a

q)
p

■*

p
q

a

ó

(p

ó

p a q

p

a

q)

q

*

q

De una premisa conjuntiva se puede concluir en cualquiera de sus componen­
tes.
Ejemplos:

(1) "5 es menor que 7 y 15 es múltiplo de 5, por tanto, 5 es me­
nor que 7"

(2)

"Sócrates fue un filósofo griego y Shakespeare fue un dramaturgo inglés
por lo tanto, Shakespeare fue un dramaturgo inglés"

1.8

Adición
Se simboliza por:

p * (p v q)

y su esquema clásico es:

ó

p

q * (p v q)

ó

q

P v q

P v q

Una disyunción está implicada por cualquiera de sus miembros.
Ejemplo:

"Benjamín Franklin fué inventor del pararrayos. Por lo tanto, fué
inventor del pararrayos o fué un hábil político americano".

1.9

Le y del Absurdo

Se simboliza

por:

[p

(q

y su esquemaclásico es:

a

"Wj J ] •* <«»p

p -*■ (q A vq)

ó

[‘vp *

g

:. vp
Si una contradicción

(q

a

"H}.)] ■* p

vp + (q a vq)
p

sededuce de una premisacondicional,

se

concluye en

la negación del antecedente.

1.15

LA DEMOSTRACION MATEMATICA______________________
Ya hemos visto la importancia que tiene, en matemáticas, el uso de

las proposiciones implicativas en diversas demostraciones, específicamente
en la de teoremas.
Fundamentalmente existen dos formas de demostración matemática: la directa
y la indirecta.

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Capítulo 1: Lógica

46

Q u ) DEMOSTRACION DIRECTA_____________________________ £
Según la tabla de verdad de

la implicación, si p es falso,

posición p +q es válida, cualquiera que

la pro

sea el valor de verdad de q, enton

ces no habría nada que demostrar. Luego, interesan los casos de antecedente
verdadero.
Cuando a partir de la verdad de p o de un conjunto de premisas de la forma:
Pi A P1 A p ,

se deduce

* P *q

(<0

la verdad de la conclusión q, se dice que se ha usado una demos­

tración directa.
EJEMPLO 1 . Demostrar que: "Si 2x z+a < 9 y x=2, entonces a < 1"
Demostración.

Sean p:2x*+a<9 , q:x=2 y r:a<l
Probaremos que: (p a q) * r es válida.

En efecto:
(1) Para x=2 en p, tendremos la inferencia válida:
2xz + a < 9
x = 2
2(2) 2+a < 9
(2) Sea t:2(2) *+a<9 ** t:a<l
Entonces se tiene que: (p

a

q) »

t

es

válida

(3) Ya que por hipótesis: (p A q) es verdadero
(4) Si aplicamos el Modus Ponens a (2) y (3), se tiene que el consecuente t
se cumple.
(5) Luego, t = r
(6) Por tanto, r se cunple, con lo que

sehademostrado que: (p

a

q) * r es

válida.
EJEMPLO 2.

Comprobar la validez de la inferencia:

p

a

q

(p

a

q) * r

r * s
.".

s

Solución. Probaremos que la siguiente condicional es una tautología.
(p A q) A [fp A q) * r]

a

(r * s) -► s

En efecto:
(1)

(p a q) A [’vfp

(2)

=

(p

a

q)

a

a

[Mp

q) v_r]
a

q ) v r]

A fvr v s) * s

(Cond. E. 7a)

(s) * s

(Abs. £.9a)

a

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Sección 1.15: La Demostración Matemática

(3)

3 [(p

q) v r]

a

47
(Abs. E.9b)

s ♦ s

a

(4)

=

(5)

= ~[ fp

{■'■[(p a q) v r] v
a

q) v r] v ("vs v s>

(6)

= •'-[íp

a

q) v r] v (T)

(7)

=T

(Qond. E. 7a)

v s

(Asoc. E.4b)
(Tere. Exc.T.3)

(Tautología)

(Neutro: E.13c)

Por lo tanto, es válida la inferencia.

DEMOSTRACION INDIRECTA
Esta demostración
contradicción

o

por

se denomina

reducción

Tollensse puede deducir

la

al

también demostración por
a b s u r d o . Según

negación delantecedente de

el

Modus

una condicional

cuando se sabe que el consecuente es falso. Si el consecuente es una contra
dicción, se sabe que es lógicamente falso. Asi de p -* (q

a

'*}) se puede de­

ducir vp. (Ley del absurdo).
EJEMPLO 1 . Demostrar que: S > 3
Demostración. Sea p : 5 > 3
Se va ha demostrar que p es verdadera. En efecto:
(1)

Supongamos que 5=3 , o sea: vp

(2)

Entonces por (1): 5-3=2

(q)

(3)

Pero: 5-3>0, o sea no es 2

(vq)

(4)

Entonces de (2) y (3) tenemos: q

(5)

Luego, de (1) y (4): ~p ■* (q

(6)

Según la ley del absurdo:

(7)

Api¡cando el Modus Tollens a (5)

Nota.

a

a

''-q

*q)

l> p * (q a ■'■q,)]

p

y (6)se tiene que p es verdadera.

Una demostración indirecta se emplea tarhbién en enunciados o inferen
cias lógicas válidas que tienen la forma:
(p1

a

Pz

a

P

ja

A Pn^

Q

Los pasos a seguir son los siguientes:
(1) Introducir la negación de la conclusión deseada como una nueva premisa
(2) De esta premisa adicional, Junto con las premisas dadas, deducir una
contradicción.
(3) Establecer la conclusión deseada como deducción lógica de las premisas
originales.
[ ("*q)

a

P i

a

p,

a

A

Pn ] *-*p¡

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(9)

48

Capitulo 1: Lógica

Probaremos que (ti) es equivalente a (a). En efecto:
(ti) s í(vq)

a

=

p j

a

p¡ a

a pn l

a Pa a P » a

-► vpi

a pn] v vp¡

(Cond. E. 7a)

= q v [''•fpi A PiA

q,)] v a,Pi

(Morg. E.6a)

s q v lv(Pi a p 5A

Pn a Pa>3

(Morg. E.6a)

= *(pi a Pi A pa a

pn) v q

= fPi a

aPia

(Asoc.E.ía y Conm. E.3b)

pn3 * q

(Cond. E.7a)

(ti) s ( a )
EJEMPLO 2.

Si el contrato no se cumple, entonces la construcción del ecH
ficio no se terminará a fin de año. Si la construcción no se

te rm in a a fin de año, entonces el

bancopierde dinero.

contrato no se cumple, entonces el banco pierde
Solución.

Por lotanto,

si el

dinero.

Sean p:El contrato se cumple
q:La construcción del edificio se termina
r:El banco pierde dinero

Entonces, la inferencia es:
(vp * vqj A Cvj + r) ■* (vp

r)

Demostraremos que es válida por el método indirecto.
En efecto:
(vp ~ vq) a v(vp + p) * v(vq + r)
(p v ''■q) A v(p v r) * v(q v r)
(p v

vq) a (vpa vr) -»(%qA vr)

(vp a vr) a vq -►(\q a vr)
vp a

(vr a vq)+ (vq

a vr)

7a y E.7b)
(Morg. E.6b)
(Abs. E.9b)
(Asoc. E.4a)

v r)

(Cond. E.7a)

p v i*(vr a vq) v (vr a vj;]

fA so c. E.4b)

[p v

v(vr

(Cond.E.

a

v q )]

p v [ T ] =T

v

(v q

a

(Tautología)

Por lo tanto, es válida la inferencia.

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(Tere. Exc.T.3)

Sección 1.16: Circuitos Lógicos

49

CIRCUITOS LOGICOS
El valor de verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de
corriente en un circuito eléctrico controlado por un interruptor.
En efecto, para representar un interruptor mediante una proposición p, se
tiene:

■|

■

»

«

Circuito Cerrado

O ---------------------- H

-

Circuito Abierto

Es decir, el interruptor está cerrado (pasa corriente) si V(p)=V, y está abierto (no pasa corriente) si V(p)=F. De aqui establecemos una identifica­
ción entre las proposiciones y los interruptores de un circuito eléctrico.
Las operaciones proposicionales (conjunción, disyunción, etc) pueden repre­
sentarse mediante circuitos con tantos interruptores como proposiciones com
ponentes. Considerando las clases de instalaciones: en serie y en paralelo,
es factible diseñar esquemas de circuitos eléctricos para representar a pro
posiciones compuestas o viceversa.

CIRCUITOS EN SERIE__________________________________y
Consideremos dos interruptores p y q conectados en serie:
----------- 1

P

>|-------- •- ■■

» l----------- *

Se observa que este circuito admite paso de corriente cuando los dos inte­
rruptores p y q están cerrados, en cualquier otro caso no hay paso de co­
rriente. De aqui tenemos el comportamiento de la conjunción de las proposi­
ciones p y q. Por tanto:
a) p

a

<J: representa un circuito cerrado en serie, que deja pasar corriente
solo si los interrptores p y q están cerrados a la vez. Diremos

que soló en este estado p A q es verdadera.
b) 'vpA'vq; representa un circuito abierto en serie que deja pasar corriente.
Diremos entonces que en este estado n,p a 'v q as falsa.

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Capítulo l: Lógica

50

CIRCUITOS EN PARALELO
Consideremos ahora dos interruptores instalados en paralelo:

<+■
Se observa en el circuito que hay paso de corriente cuando uno de los inte­
rruptores o anbos están cerrados; no hay paso de corriente cuando los dos
interruptores están abiertos. Tenemos,

entonces,

el comportamiento de la

disyunción de las proposiciones p y q . L a falsedad de pvq, es decir, el he
cho de que no pase corriente, sólo se verifica en el caso de la falsedad sj
multánea de pvq. Por tanto:
a) p v q '
■ representa un circuito cerrado en paralelo que deja pasar corrien
te si por lo menos uno de los interruptores eléctricos está cerra
do. Diremos que solo en este estado p v q es verdadero.
b) 'vpv''<?■' representa un circuito abierto en paralelo que no deja pasar co­
rriente, por lo que en este estado •\pv,'q es falsa.

Pvd

'vpv

Las representaciones anteriores nos permite diseñar o simbolizar redes de
circuitos eléctricos conectados en serie y en paralelo, o también simplifi­